- 1、Define Hypothesis
- 2、Test-statistic（检验统计量，z-statistic）
- 3、Critical value（关键值、即分位数）
- 4、Decision rule
- 5、Confidence Intervals 和 Hypothesis Tests 的关系
- 6、假设检验：对均值、方差进行检验的总结
- 7、p-value Method
- 8、Type-1 error 和 Type-2 error【必考】
- 9、parametric tests、nonparametric tests
- 10、例题
- 假设检验：先假设一个结果（预估一个结果），再进行检验
- 有点类似于反证法。
- 步骤（流程）：
- Step-1：State null and alternative hypotheses
- Step-2：Identify the test statistic（检验统计量）
- Step-3：Select a level of significance
- Step-4：Formulate a decision rule
- Step-5：Take a sample, arrive at decision
- Do not reject
- Reject
步骤流程（version-2）：
A htpothesis is a statement about one or more population parameters.
- For population, not sample
- Null hypothesis（原假设）：the fact we suspect and want to reject
- Alternative hypothesis（备择假设）：we want to assess
- 原假设与备择假设为互补关系。
one-tailed/two-tailed tests of Hypothesis
计算公式
- 公式由来：
- 现在是想用
估计总体均值
，要判断落在区间里还是区间外，需要查表。 - 由中心极限定理可知
，将其进行标准化，可得：
，此时即符合 
，标准化的结果即作为检验统计量。最终基于该统计量即可判断其落在区间里还是区间外。- 其中
代入原假设中设定的数值。
- 其中
- 现在是想用
- 公式由来：
- Test statistic follows Normal、T、Chi Square or F distributions
- 检验统计量服从各种分布（检验统计量也是一个随机变量）
是个随机变量，因此检验统计量（
）也是随机变量
- Test statistic has formula.（检验统计量是通过计算得到的）
- Calculate it with the sample data.
- We should emphasize Test Statistic is calculated by ourselves not from the table.
This is the general formula but only for Z and T distribution.
计算好检验统计量后，需要判断该统计量是落在区间里还是区间外，就需要将其与关键值（
值）进行对比。- 关键值（
值）的影响因素- 与显著性水平（
）有关- 由显著性水平可确定置信度（
），因此确定区间大小，确定
值
- 由显著性水平可确定置信度（
- 之前讲过：相同的显著性水平（
）下，T 分布的置信区间更宽；因此，不同分布（查不同的表）的
值也不同。 - 与单尾或双尾相关：
- 双尾
（每个尾巴的面积为
），置信度为
，对应的
- 单尾
（一个尾巴的面积就达到
），则对应双尾情况下显著性水平为
时对应的
值，此时置信度为
，对应的
- Under given one tailed or two tailed assumption, critical value is determined solely by the significance level.
- 双尾
- 与显著性水平（
Found in the Z、T、Chi Square or F distribution tables，not calculated by us.
Critical value method
- Significance Level?
- Two tailed or one tailed test?
- Reject region? Critical Value under the condition
- Compare the Test Statistic and Critical Value
- Reject
if 
- Fail to reject
if 
和
）还是方差（
）进行检验（两者的分布是不一样的）
（显著性水平），实际应用中自己拟定，考试中一般会给出
找到关键值（
）
，
，
，
），则拒绝域在右边；如果备择假设是小于号（
），则拒绝域在左边。
值）是通过查表得到。
Statement：
Confidence Interval = sample statistic
critical value * standard error- Center of Interval = sample statistic
Length of Interval = 2 critical value standard error
6、假设检验：对均值、方差进行检验的总结
对均值（
）还是方差（
）进行检验时，两者的分布是不一样的- 以下表格只需要知道对均值、方差进行检验时使用对应的分布即可
- 对
进行检验- 一个总体
（如检验
）- T 分布或 Z 分布（正太分布）
- 方差已知用 Z ，方差未知用 T，非正太、总体小样本不可估计
- 当样本足够大时，无论是方差已知还是未知，都可以用 Z
- 对应的检验统计量即之前讲过的 test-statistic 相关计算【必须掌握】
- T 分布或 Z 分布（正太分布）
- 两个总体
（如检验
）- 两个总体之间相互独立：T 分布
- 两个总体之间不相互独立：使用 paired comparisons test（成对数检验，分成一段一段检验）
- 对应的检验统计量为：
- 样本的标准差与总体的标准差之间的关系：
（但通常
未知时用
代替）
- 样本的标准差与总体的标准差之间的关系：
- 推导（转换为检验
）：- 假设要检验
，其中 X 和 Y 之间不相互独立（存在相关性），因此检验时将其分段、成对匹配，并计算每一对的差值
，检验
即可转换为检验
- 此时，对应的检验统计量为
- 假设要检验
- 对应的检验统计量为：
- 一个总体
- 对方差（
）进行检验- 一个总体
（如：
）：卡方分布 - 两个总体
（如：
）：F 分布 - 两个分布对应的检验统计量简单了解即可。
- 一个总体
7、p-value Method
- The p-value is the smallest level of significance at which the null hypothesis can be reject.
- 即：p-value 为拒绝原假设的最小显著性水平（
），即两端尾巴（如果是单尾，则一端的尾巴）的面积（即为概率，因此取值范围为 0-1） - 因此，可以将 p-value 与显著性水平（
）进行对比，以判断是否拒绝原假设。
- 即：p-value 为拒绝原假设的最小显著性水平（
：reject
：do not reject
As p-value decrease, easier to reject
（p-value 越小越拒绝）
8、Type-1 error 和 Type-2 error【必考】
Type-1 error：reject the null hypothesis when it’s actually true.
- 拒真（错杀好人），原假设正确，但被拒绝掉
- P(Type-1 error) = Significance level
- Significance level（
）：the probability of making a Type-1 error.
- Type-2 error：fail to reject the null hypothesis when it’s actually false.
- 存伪（放走坏人），原假设错误，但没有被拒绝
- Power of a test（检验的能力）：the probability of correctly rejecting the null hypothesis when it is false.
- 即原假设错误、且正好也被拒绝掉的概率（用此来体现检验的能力，因为原假设本身就是想把他拒绝掉的）。
- power of a test + P(Type-2 error) = 1
- 因为“原假设错误、且正好也被拒绝”与“原假设错误、但没有被拒绝”构成了互补关系，两者的概率之和必定位 1。
- 因此：Power of a test = 1 - P(Type-2 error)
- P(Type-1 error) + P(Type-2 error) 是否等于 1？
- 不等于，因为 P(Type-1 error) 不等价于 Power of a test（两者从函数上就体现出了区别），而 P(Type-2 error) 是与 Power of a test（也是概率）之和才为 1。
- With other conditions unchanged, either error probability arises at the cost of the other error probability decreasing.
How to reduce both errors?
parametric tests（参数检验）
- Based on specific distributional assumptions for the population
- concerning a parameter of population.
- For example, t-test.
nonparametric tests（非参数检验）
- a nonparametric test either is not concerned with a parameter or makes minimal assumptions about the population from which the sample comes.
- Nonparametric tests are used when：
- data do not meet distributional assumptions.（不满足分布的假设；如非正太、总体小样本的情况下）
- 如：hypothesis test of the mean value for a variable, but the distribution of the variable is not normal and the sample size is small so that neither the t-test nor the z-test are appropriate.
- data are given in ranks.（序数排列）
- the hypothesis we are addressing does not concern a parameter.（检验的不是参数）
10、例题
（1）Define Hypothesis
（a）原假设、备择假设
（b）备择假设、原假设
（2）假设检验：流程、拒绝与否的判断
（a）假设检验流程应用（双尾）
（b）假设检验流程应用（单尾）
（c）假设的拒绝与否判断
（3）假设检验：t-test（成对数检验）
- data do not meet distributional assumptions.（不满足分布的假设；如非正太、总体小样本的情况下）
含金融计算器计算一组数的均值和方差（标准差）
（4）假设检验：Chi-square（卡方）test
（5）假设检验：F-test for equal variances
- Decision rule for F-test
（6）不同假设检验的比较
- 两个不同方差检验，使用 F 分布
- 成对数检验特点
（7）p-value Method
若有收获，就点个赞吧
0 人点赞
