0202-快乐数

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题目描述

编写一个算法来判断一个数 n 是不是快乐数。
「快乐数」定义为：

• 对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
• 然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是 无限循环 但始终变不到 1。
• 如果 可以变为 1，那么这个数就是快乐数。

如果 n 是快乐数就返回 true ；不是，则返回 false 。

示例

示例1：

输入：19 输出：true 解释： 1 + 9 = 82 8 + 2 = 68 6 + 8 = 100 1 + 0 + 0 = 1

提示

• 1 <= n <= 2 - 1

  思路

  本题看似是一道数学题，但其实想要直接证明一个数是否是快乐数是比较困难的。仔细阅读题目，发现计算过程是可能死循环的，死循环的原因其实是产生了环。
  在循环计算快乐数的过程中，考虑所有情况：

1. 最终得到1
2. 值越来越大，直到无穷大
3. 进入死循环

其中，情况2是我们不想看到的，因为它很难处理，事实上，这种情况是不存在的，证明如下：
最大的 位数为 ， 其快乐数为 ；
最大的 位数为 ， 其快乐数为 ；
最大的 位数为 ， 其快乐数为 ；
令 得
即当一个数大于等于4位时，它的快乐数是不断变小的，直到变为三位数，且三位数的快乐数不大于243，由此就可以排除情况2。
因此，本题的关键是判断是否有环。

思路1：哈希表（哈西集合）

如果一个数不在哈西集合里，就添加它；如果在集合中，说明存在环。

思路2：快慢指针

类似判断链表是否有环，我们同样可以使用快慢指针判断。

思路3：数学

由之前的分析我们可知，对于输入的数来说，它的快乐数最终都会收敛到243以内，因此，若有环，也是在243内循环；
对于243这种较小的数字，我们可以编程寻找环。
最后得出只存在 。因此，我们可以判断输入的数最终的快乐数是否落在这个环里即可。

题解

思路1：哈希表（哈西集合）

class Solution {
   private:
    int getSum(int n) {
        int sum = 0;
        while (n) {
            sum += (n % 10) * (n % 10);
            n /= 10;
        }
        return sum;
    }
   public:
    bool isHappy(int n) {
        unordered_set<int> visited;
        while (n != 1 && visited.find(n) == visited.end()) {
            visited.insert(n);
            n = getSum(n);
        }
        return 1 == n;
    }
};

思路2：快慢指针

class Solution {
   private:
    int getSum(int n) {
        int sum = 0;
        while (n) {
            sum += (n % 10) * (n % 10);
            n /= 10;
        }
        return sum;
    }

   public:
    bool isHappy(int n) {
        int slow = n;
        int fast = getSum(n);

        while (n != 1 && slow != fast) {
            slow = getSum(slow);
            fast = getSum(getSum(fast));
        }

        return 1 == fast;
    }
};

思路3：数学

class Solution {
   private:
    unordered_set<int> cycleNum{4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20};
    int getSum(int n) {
        int sum = 0;
        while (n) {
            sum += (n % 10) * (n % 10);
            n /= 10;
        }
        return sum;
    }

   public:
    bool isHappy(int n) {
        while (n != 1 && cycleNum.find(n) == cycleNum.end()) {
            n = getSum(n);
        }

        return 1 == n;
    }
};

复杂度分析

思路1：哈希表（哈西集合）

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：，对于大于243的数我们可以不保存它，因为无论什么样的数，最终都会落到243以内。

  思路2：快慢指针

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：

  思路3：数学

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：