老师不会教你的理(biàn)论(fēn)力(yuán)学(lǐ)part4.拉格朗日方程

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作者：灵动之翼

这次我们……咦？不是还有补充部分没完吗？嗯，补充部分一定会出的，不过那是支线任务，我们的主线任务也不能落下嘛！
这次我们要做一件惊天动地的大事：推导出达朗贝尔方程和拉格朗日方程。听起来是不是很牛？

呃，然而事实上这一章就是走走过场，因为这两个方程的推导在知乎里随便就能搜到……不过我们的专栏既然是叫“不一样的物理学”，我们的推导一定也要不一样嘛！一定也得是“严谨而有趣”的呀。
好啦，那我们就开始吧。
首先想想，我们为什么要引入新的力学体系呢？这是因为在约束力过多的体系中，牛顿力学显得很无力，因为约束力的大小往往是未知的，而且很多时候也没必要知道，但牛顿力学却不得不将它们都算出来。既然这样，我们自然希望拥有一个新的体系，可以不必算出约束力，就能知道物体的运动过程。达朗贝尔方程就是为了解决这一问题。
我们知道，力可以被分为约束力和主动力。那么如何才能不算出约束力就解出物体的运动过程呢？要做到这一点，我们必须把约束力和主动力分开——要是两者没有区别，我们怎么可能在保留主动力的同时去掉约束力嘛！
那么约束力有什么特殊性质可以让它区别于主动力呢？想一想，在我们的观念中，约束力似乎总是可以无限增大，只要能让物体保持想要的约束条件。比如约束在一个桌子上的物体，无论怎么运动都不可能穿到桌子下面去，即使在物体上方施加很大的压力也不会——除非桌子破了，那就是约束被破坏了……我们才不讨论这种暴力的情况呢！
但是，你想直接知道桌子对物体的约束力，也就是竖直向上的支持力，可以吗？不行，通常我们只能通过二力平衡的条件，算出物体对桌子的正压力来间接求得约束力。
所以，我们发现约束力有两个特性：它对物体运动状态的约束很容易知道（比如无法越过桌子），但约束力的大小不容易直接求得。
这样的话，我们似乎可以认为：约束力的方向总是与物体运动方向垂直，即约束力和位移的点乘恒为0。但这是不对的哦！这种通常只在只有一个质点，且约束稳定的前提下成立。如果是两个质点用杆连在一起，那么杆对它们的约束力也不一定和质点运动方向垂直，但是它们各自的位移和约束力的点乘结果加起来却总是0。如果是不稳定约束，那么约束将随时间变化，物体的运动也会随时间变化，但约束力和虚位移的点乘却为0。所以，约束力满足的条件应该是

满足这个条件的约束，被称为理想约束。
其实，就算是理想约束，也没有包含所有的约束，不过已经包含绝大多数约束了。
好了，找出了约束力和主动力的区别，我们就可以开始构建一个不含约束力的力学体系啦！
首先，如果一个体系中有多个质点，那么对每个质点都有牛顿第二定律（向量符号太麻烦了我就略去了，反正你懂的啦）

其中 代表第 个质点受到的（合）主动力， 代表第 个质点受到的（合）约束力，字母上面的点表示对时间求导。这个式子也可以写成

现在我们自然是要想办法消去这个方程的约束力。怎么消去呢？当然是要利用理想约束啦！只要在等式两边都乘一个 ，就有

注意，现在还不能使用理想约束来消去约束力哦！为什么？有没有发现，理想约束的定义式前面有个求和号？哈哈，所以为了使用理想约束，我们要先把上式对所有质点求和：

或者写成

现在再利用理想约束的定义 ，上式就不再含有约束力啦

至此我们终于把约束力都消去啦！
我们现在得到的这个等式，就是传说中的达朗贝尔方程了。我们可以直接用它解决一些力学问题。可是，这个方程好不容易请走了约束力这个神仙，却又引进了变分 这个同样不好处理的东西。我们能不能进一步推导出一个不含变分的方程呢？
在此之前我们先想想，怎么处理达朗贝尔方程中的变分这个玩意儿呢？首先，达朗贝尔方程是一个矢量方程，要让它便于处理，应该把它写成分量形式，这样在三维空间中就会有3个达朗贝尔方程。
我们知道，唯一限制变分的就是约束条件。那么现在我们想想，如果质点系在某个方向上没有约束，比如 方向，那么这个方向上就可以有任意的虚位移，对应的达朗贝尔方程

里面的 就都是关于时间 的任意函数（这个不理解的话可以看看这个系列的part3哦）。几个任意函数之和恒等于0，怎么可能呢？嗯，只有可能是它们的系数全为0啦！（这一点要严格证明也很容易，用反证法就好了）

这样，对于 个质点的质点系，我们在 方向上就得到了 个微分方程。其实这不就是牛顿第二定律嘛！的确，因为我们刚才假定了 方向没有约束力，那达朗贝尔方程其实没什么必要嘛！
那么如果有约束呢？比如在 方向有约束 ，那么 就是关于 的确定的函数，它的变分恒为0，或者说这个方向上的虚位移恒为0，此时达朗贝尔方程等号左边也恒为0，变得没有意义了。但是如果 方向有了这么强的约束条件，我们其实都不用再研究 方向的运动了，因为 ，不就意味着 方向的运动完全是已知的嘛！
等等，你到底想说什么？为什么这几段一直在说这么显然的废话？
哈哈，别急，毕竟我们要先说一下方程中变分的处理方式。我们现在要研究一些困难的情况了：如果约束不那么简单，比如约束是 ，那该怎么处理？
这个时候在 方向上的变分都不再是任意的，它们之间存在关系。但是，如果我们令 ，并把 当做两个新的坐标，那 就满足上述的“无约束”的情形， 就满足上述的“无虚位移”的情形（其实就是一个常数了）。这样，把达朗贝尔方程中所有的 都用 代换，不就可以处理达朗贝尔方程了嘛！
从这个方法我们就看出，只要选取合适的坐标，就可以方便地处理变分了。这就是下面要推导的拉格朗日方程的基本思想。
首先，为了选取合适的坐标来处理变分，我们要引入“广义坐标”的概念。
如果一个质点系含有 个质点， 个约束条件，就应该有 个坐标。但由于约束条件的存在，这 个坐标不是独立的。每有一个约束条件，就可以消去1个坐标，因此一个质点系只有 个坐标是独立的，我们也说这个质点系有 个自由度，因为只要 个独立坐标就可以完全确定这个质点系中各个质点的位置。我们就把这 个独立坐标称为“广义坐标”。广义坐标的选取方式并不唯一。
这样，借助广义坐标，我们就可以从达朗贝尔方程入手，建立不含变分的动力学方程啦！不过我们要先把达朗贝尔方程中所有的位置矢量 用广义坐标表示出来，包括变分 。好在，我们在part3已经学过变分公式 啦，而且 仅仅是关于广义坐标和时间的函数，与广义坐标的一阶导数无关，所以r的变分形式就更简单啦（为了便于初学者理解，我们不使用爱因斯坦求和约定）：

至于 的二阶导数，理论上可以用多元函数求导法则，不过……太可怕了，如果体系有s个自由度，那么一次求导就会出现s项，二阶导就意味着每一项再求一次导，那么每一项都还会出现更多项……我们还是先把这一项留着吧，毕竟我们现在的主要目标是处理变分嘛！所以现在的达朗贝尔方程变成了：

现在这个式子和我们之前处理的还不太一样，因为多了一个求和号，而且我们最想要的求和号不在最前面。不过，后面的求和号是可以移到最前面去的（这个如果不明白的话，可以把求和展开来写写看），所以上式可以写成

这样，仿照之前的做法，我们知道所有变分的系数必须全为0，所以：

或者写成

我们把等号右边定义为对应于广义坐标 的“广义力”，用 来表示。它和一般的“力”的区别在于：它是一般的力和另一个矢量 点乘的结果，是一个标量，而且它从属于一个广义坐标。离开了广义坐标，它就没有什么意义了。嗯，相当于主人和仆人的关系……或者，公主和骑士的关系？

到目前为止，我们虽然已经处理完了变分，但仍然没有把位矢 的二阶导数用广义坐标表示出来。难道我们真的只能用多元函数求导法则硬扛了？呃呃，别这么想不开。我们先想想，有没有办法降低导数的阶数呢？我们可以试试把左边的式子当做一个整体，一起处理呀！还记得导数的乘法公式嘛？

看起来好像没什么关系？我们移一下项看看。

啊哈，这个式子可以让 的导数阶数降低！但是右边的 怎么办？难道就留着了？哎呀，先试试看吧，又不会少块肉。
对 使用上面的公式得：

看起来好丑啊……有没有办法让它好看一点呢？比如最后面那个对 求导，能不能和偏导数交换次序呢？这个要证明一下才行。其实只要自己算算两个相等就好了啦。由于 是关于所有广义坐标以及时间 的函数，所以：

注意看等号右边出现了广义坐标的导数（即“广义速度”），这说明 在此时已经是所有广义坐标、广义速度以及时间的函数了，它的自变量个数增加了：


这是对多元函数求全导数之后会发生的情形，是正常现象啦。把上式对 求偏导（注意这个偏导要把广义速度都看成常量哦），就有：

然后我们再算一下 ，就是和上式一样的结果。这说明 的偏导数和全导数的确可以换序。这样我们就可以把上面的式子写得稍微好看一点了：

这里把等号右边第一项的求导符号塞进了求和号里面，因为这是有限个 相加，显然可以这么做。然而至此我们依然没有把所有的 换成广义坐标。

诶诶，别哭啊，就这么放弃了吗？其实我们离成功已经不远了！我们现在要做的就是死死盯住这个式子不放，找到一切可能的突破口！
看出什么了吗？
注意等号右边后一项，它有点像一个复合函数求偏导的形式。。。
动能？动能！
质点系总动能的表达式是 ，把它对一个广义坐标 求偏导，就得到：

是的，是的，是的！就是它！！！一模一样！第二项解决啦！
那第一项怎么办呢？我们是不是也可以试试看用动能表示呢？
既然 是所有广义速度和广义坐标以及时间的函数，动能自然也应该是这样。而我们的方程又只出现其中一个广义坐标 和它对应的广义速度 ，广义坐标求偏导刚才已经试过了，那不如对广义速度 求偏导试试看？

和第一项括号里面不完全一样呢……但是这个偏导数上下都有一个点，如果这两个点上下可以消掉，那不就和第一项一样了？那么究竟可不可以消掉呢？只要动手算一下就可以了啦。把之前计算出来的 代入 得：

既然 只是所有 以及t的函数，与广义速度 无关，那么它的偏导数 自然也与广义速度 无关，所以上面式子中的 在对 求偏导时就是一个常数而已。 也是如此。这样上式算出来就是：

说明这个式子中，上下两个点果然可以消去！这样就有

好了！把这个式子也代入我们处理到一半的达朗贝尔方程中，就变成了：

是不是好看多了？除了左边的求和丑了一点。如果这个质点系不受外力，那这个式子将会更好看：

不过质点系完全不受外力毕竟是极特殊的情况。那如果所有力都是保守力呢？我们知道保守力必有对应的势能。体系的总势能呢？就是各个保守力的势能之和嘛！我们把这个“总势能”记为 。而且势能 的大小通常只与空间的位置有关，也就是说它仅仅是广义坐标 的函数，与广义速度 和时间 无关：

所以

而保守力 是势能的负梯度。这样就有：

这里我又特意加上了向量符号，就是要说明这个偏导数其实是对 的各个分量求偏导，结果也是一个向量（这样才符合梯度的定义嘛）。那么广义力就可以表示为：

哇，这也太好看了吧！广义力简直就是为保守力而生的嘛！这样在外力都是保守力时，我们推了一半的方程就变成了：

进一步地，由于 ，所以 ，那么在等式左边减去 这一项不会有什么问题。再把等号右边的项移到左边，就变成：

我们定义 ，称为体系的拉格朗日量（一听就很高大上是不是！）。这样上式可以写成

这就是保守体系下的拉格朗日方程了。对非保守体系，拉格朗日方程可以写为

只不过这里的 都是非保守力，而保守力已经包含在拉格朗日量中了。
现实中我们用的较多的还是保守体系下的拉格朗日方程。它是几个方程呢？哈哈，虽然我只写了一个，但它其实对所有的广义坐标 都成立，而广义坐标一共有 个，所以一共有 个拉格朗日方程。因此，约束越多，拉格朗日方程就越少，也就越好求解，这和牛顿力学是完全相反的。
等等，我们的任务完成了吗？我们不是要把所有含 的项用广义坐标表示吗？最后用动能（和势能）表示了，这算什么？
哈哈，这其实提醒了我们，在我们使用拉格朗日方程时，必须先把动能和势能都用广义坐标 和广义速度 表示出来。这样，就相当于把所有量都用广义坐标表示了嘛！
再说一句。我们再观察一下保守体系下的拉格朗日方程：

好像……可以仿照之前说的求导换序和上下点相消，把第一项改成

然后代回去，整个式子左边也变成0了？？？哈哈，这个过程不对的，事实上上面的两个等号都不成立。记得我们之前推导上下点相消的时候，说过这样一句话：
既然 只是所有 以及 的函数，与广义速度 无关，那么它的偏导数 自然也与广义速度 无关，所以上面式子中的 在对 求偏导时就是一个常数而已。
但拉格朗日量可不一样哦！它既是广义坐标的函数，又是广义速度的函数，所以 对广义速度求偏导时并不是常数，第二个等号并不成立。第一个等号不成立的原因也类似，就是因为拉格朗日量同时是广义坐标和广义速度的函数。不过呢，上面这个推导虽然不成立，但可以作为一种记忆拉格朗日方程的方法，哈哈。
另外，在保守体系下， 倒还真是正确的，不过当然不是上面这个推导过程，而是直接把保守体系下的拉格朗日方程 移项得到。这个关系式很重要，在后面推导对称与守恒律的时候会用到，在推导哈密顿量时也会用到。
那么本章的内容就是这些啦！下期再见啦！