为啥二进制数右移一位是除2

在了解为什么二进制整数右移一位等同于除以2之前，我们要先理解二进制数的基本概念。
二进制数系统是一个基数为2的数位系统，每个数位上的值可以是0或1。每个数位（称为比特）代表一个2的幂次，从右向左数，最右边的比特是2的0次方，也就是1。往左的每一位依次代表2的1次方、2的2次方、2的3次方，依此类推。
例如，二进制数 1011 可以按照以下方式转换为十进制数：

  1. 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0
  2. = 8 + 0 + 2 + 1
  3. = 11 (十进制)

当我们在二进制中对整数进行右移一位操作时，实际上是将所有二进制数位向右移动一位，并在最左边补上一个0（如果是逻辑右移）或原来最左边数位的符号位（如果是算术右移）。这种操作等价于去掉了最低位（最右边的数位），也就是丢弃了2的0次方的项。这样每个数位上原来代表的2的幂次都会减少1。因此，整数的每个部分都会变成原来的一半，即除以2。
以二进制数 1011（十进制中的11）为例，如果我们对它进行右移一位操作，得到的是 0101（十进制中的5）。这个过程可以这样理解：

  1. 原始值：1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0
  2. 右移一位：0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0

可以看到，每个数位上的值都变成了原来的一半，从而使整个数值除以2。所以，二进制整数右移一位与数值上除以2是等价的操作。

如何理解 二进制 i & (i-1) 可以去掉最后一个1

为了理解二进制操作i & (i - 1)可以去掉i的最后一个1的原理，首先要了解二进制的位运算中的与运算（AND）：
在二进制中，与运算的规则是：

  • 0 & 0 = 0
  • 0 & 1 = 0
  • 1 & 0 = 0
  • 1 & 1 = 1

也就是说，只有两个对应的位都为1时，结果位才为1。
现在来看i和(i - 1)这两个数在二进制下的表现：

  1. i是一个原始的二进制数。
  2. (i - 1)是i减去1之后的数。

考虑i的最低位（最右边的位）是1的情况：

  • 如果i的最低位是1，那么从i减去1将会使得最低位变成0，并且不会影响到其他位。因此，i & (i - 1)会将最低位的1变成0，并且保持所有其他位不变。

现在考虑i的最低位是0的情况：

  • 如果i的最低位是0，那么i - 1将会使得从最低位开始的一串0变成1，直到遇到的第一个1被变成0。这是因为从i中减去1意味着需要借位，所以会连续翻转直到找到一个可以借的1。

举个实际的例子，假设i是二进制的1100（十进制的12）：

  1. i        = 1100
  2. i - 1    = 1011
  3. i & (i-1)= 1100
  4.           & 1011
  5.           = 1000

从上面的运算可以看出，i & (i - 1)的结果1000，相较于原始的1100，去掉了最后一个1（即最低位的1），而其他位保持不变。
通过这个方式，i & (i - 1)这个操作可以有效的去掉i二进制表示的最右边的1，而且这个操作可以重复使用，每次都会去掉一个1，直到i变成0。这个技巧在编程中经常被用到，特别是在位运算中处理二进制数的相关问题时。