一、二叉树入门

1.1 数的基本定义

树具有以下特点：

1. 每个结点有零个或多个子结点；
2. 没有父结点的结点为根结点；
3. 每一个非根结点只有一个父结点；
4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

   1.2树的相关术语

   结点的度：
   一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
   叶结点：
   度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
   分支结点：
   度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
   结点的层次：
   从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
   结点的层序编号：北京市昌平区建材城西路金燕龙办公楼一层 电话：400-618-9090
   将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
   树的度：
   树中所有结点的度的最大值
   树的高度(深度)：
   树中结点的最大层次
   森林：
   m
   （m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根
   结点，森林就变成一棵树
   
   孩子结点：
   一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
   双亲结点(父结点)：
   一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
   兄弟结点：
   同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

   1.3二叉树的基本定义（二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)）

   
   满二叉树：
   一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
   
   完全二叉树：
   叶节点只能出现在最下层和次下层**，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
   
   

   1.4 二叉查找树的创建

   1.4.1二叉树的结点类

   二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。
   结点类API设计：

1.4.2 二叉查找树API设计

插入方法put实现思想：

1. 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根节点使用
2. 如果当前树不为空，则从根节点开始
   1. 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点
   2. 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点
   3. 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：
从根节点开始：
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想：
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

1.4.3二叉查找树创建（code）：

package algorithm.tree;

public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value>{
    //记录根结点
    private Node root;
    //记录数中元素个数
    private int N;
    private class Node{
        //存储键
        public Key key;
        private Value value;
        public Node left;
        public Node right;
        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right){
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
    //获取树中元素的个数
    public int size(){
        return N;
    }
    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key, Value value){
        root = put(root, key, value);

    }
    //向指定的树x中添加元素key-value,并返回添加元素后新的树
    public Node put(Node x, Key key, Value value){
        //如果x子树为空
        if(x ==null){
            N++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }
        //如果x子树不为空
        //比较x结点的键和key的大小
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = put(x.right, key, value);
        }else if(cmp<0){
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = put(x.left, key, value);
        }else{
            //如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可
            x.value = value;
        }
           return x;
    }
    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key){
        return get(root, key);
    }
    //从指定的树x中，查找key对应的值
    public Value get(Node x, Key key){
        //x树为null
        if(x==null){
            return null;
        }
        //x不为null
        //比较key和x结点的键的大小
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            return get(x.right, key);
        }else if(cmp<0){
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            return get(x.left, key);
        }else{
            //如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可
           return x.value;
        }
    }
    //删除树中key对应的value
    public void delete(Key key){
          root = delete(root, key);
    }
    //删除指定树x中的key对应的value,并返回删除后的新树
    public Node delete(Node x, Key key){
        //x树为null
        if(x == null){
            return null;
        }
        //x树不为null
        //比较key和x结点的键的大小
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = delete(x.right, key);
        }else if(cmp<0){
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = delete(x.left, key);
        }else{
            //让元素减1
            N--;
            //如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点的动作，要删除的结点就是x
            if(x.right == null){
                 return x.left;
            }
            if(x.left == null){
                return x.right;
            }
            //得找到右子树中最小的结点
            Node minNode = x.right;
            while(minNode.left!=null){
                minNode = minNode.left;
            }
            //1.然后把右子树中最小的结点置为null，即删除右子树中最小的节点(找最小节点的上一个节点)
            Node n = x.right;
            while (n.left!=null){
                if (n.left.left==null){
                    n.left = null;
                }else{
                    n = n.left;
                }
            }
            //2.将x.left指向右子树中最小的结点，x.right指向右子树中最小的结点
            minNode.left = x.left;
            minNode.right = x.right;
            //3.x的父节点的左节点指向子树中最小的结点
            x = minNode;

        }
        return x;
    }

}

1.4.4二叉查找树创建测试（code）：

package algorithm.test;

import algorithm.tree.BinaryTree;

public class TestBinaryTree {
    public static void main(String[] args) {
        //创建二叉树查找对象
        BinaryTree<Integer, String> tree = new BinaryTree<>();
        tree.put(1, "张三");
        tree.put(2, "李四");
        tree.put(3, "王五");
        System.out.println("插入完毕后的元素的个数:"+tree.size());
        //测试获取
        System.out.println("键2对应的元素是:"+tree.get(2));
        //测试删除
        tree.delete(3);

        System.out.println("删除完毕后的元素的个数:"+tree.size());
        System.out.println("删除后键3对应的元素是:"+tree.get(3));
    }
}

1.4.5 查找二叉树中最小的键和最大的键

 //查找二叉树中最小的键
    public Key min() {
        return min(root).key;
    }

    private Node min(Node x) {
        if (x.left != null) {
            return min(x.left);
        } else {
            return x;
        }
    }


    //查找二叉树中最大的键
    public Key max() {
        return max(root).key;
    }

    private Node max(Node x) {
        if (x.right != null) {
            return max(x.right);
        } else {
            return x;
        }
    }

1.5 二叉树的基础遍历

1.前序遍历；
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
2.中序遍历；
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
3.后序遍历；
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

前序遍历结果：EBADCGFH
中序遍历结果：ABCDEFGH
后序遍历结果：ACDBFHGE

1.5.1前序遍历

//使用前序遍历，获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> preErgodic() {
        Queue<Key> keys = new LinkedList<>();
        preErgodic(root, keys);
        return keys;
    }
    //使用前序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys队列中
    private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys){
        if(x == null){
            return;
        }
        //1.将当前节点的key放到队列中
        keys.offer(x.key);
        //2.找到当前节点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
        preErgodic(x.left, keys);
        //3.找到当前节点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
        preErgodic(x.right, keys);
    }

test:

        //前序遍历
        BinaryTree<String, String > tree = new BinaryTree<>();
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        Queue<String> keys = new LinkedList<>();
        keys = tree.preErgodic();
        for (String key:keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----->"+value);
        }

1.5.2 中序遍历

 //使用中序遍历
    public Queue midErgodic(){
        Queue<Key> keys = new LinkedList<>();
        midErgodic(root, keys);
        return keys;
    }
    private void midErgodic(Node x, Queue keys){
        if(x == null){
            return;
        }
        //如果左子树不为空，先遍历左子树
        midErgodic(x.left, keys);
        //遍历根节点
        keys.offer(x.key);
        //如果右子树不为空，先遍历右子树
        midErgodic(x.right, keys);
    }

test:

        //中序遍历
        BinaryTree<String, String > tree = new BinaryTree<>();
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        Queue<String> keys = new LinkedList<>();
        keys = tree.midErgodic();
        for (String key:keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----->"+value);
        }

1.5.3 后序遍历

 //使用后序遍历
    public Queue afterErgodic(){
        Queue<Key> keys = new LinkedList<>();
        afterErgodic(root, keys);
        return keys;
    }
    private void afterErgodic(Node x, Queue keys){
        if(x == null){
            return;
        }
        //如果左子树不为空，先遍历左子树
        afterErgodic(x.left, keys);
        //如果右子树不为空，先遍历右子树
        afterErgodic(x.right, keys);
        //遍历根节点
        keys.offer(x.key);
    }

test:

   //后序遍历
        BinaryTree<String, String > tree = new BinaryTree<>();
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        Queue<String> keys = new LinkedList<>();
        keys = tree.afterErgodic();
        for (String key:keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----->"+value);
        }

1.6 二叉树的层序遍历

实现步骤：
创建两个队列
一个队列keys存储键
一个队列nodes存储结点
1.创建队列nodes，存储每一层的结点；
2.使用循环从队列中弹出一个结点：
2.1获取当前结点的key放入队列keys中；
2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列nodes中
2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列nodes中
直到nodes结点为空，结束循环

//层次遍历，获取整个树中所有的键
    public Queue<Key> layerErgodic(){
        //先创建两个队列，一个分别存储树中的结点和树中的键
        Queue<Key> keys = new LinkedList<>();
        Queue<Node> nodes = new LinkedList<>();
        //默认，往队列中放入根节点
        nodes.offer(root);
        //当队列nodes中不为空时，做三件事
        while(!nodes.isEmpty()){
            //1.从队列nodes中弹出一个结点，并将key放入队列keys中
            Node n = nodes.poll();
            keys.offer(n.key);
            //2.如果左节点不为空，放入队列nodes
            if(n.left!=null){
                nodes.offer(n.left);
            }
            //3.如果右节点不为空，放入队列nodes
            if(n.right!=null){
                nodes.offer(n.right);
            }
        }
        return keys;
    }

test:

 //层次
        BinaryTree<String, String > tree = new BinaryTree<>();
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        Queue<String> keys = new LinkedList<>();
        keys = tree.layerErgodic();
        for (String key:keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----->"+value);
        }

1.7 二叉树的最大深度

递归的方法：
1.如果根节点为空，则最大深度为0
2.计算左子树的最大深度
3.计算右子树的最大深度
4.当前树的最大深度=左子树最大深度和右子树最大深度中的较大者+1

 //计算整个树的最大深度
    public int maxDepth(){
        return maxDepth(root);
    }
    private int maxDepth(Node x){
        //如果根节点为空
        if (x == null){
            return 0;
        }
        int max = 0;
        int maxL = 0;
        int maxR = 0;
        //2.计算左子树的最大深度
        if(x.left !=null){
            maxL = maxDepth(x.left);
        }
        //2.计算右子树的最大深度
        if(x.right !=null){
            maxR = maxDepth(x.right);
        }
        max = maxL>maxR ? maxL+1:maxR+1 ;
        return max;
    }

  //最大深度
        BinaryTree<String, String > tree = new BinaryTree<>();
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");
        int depth = 0;
        depth = tree.maxDepth();
        System.out.println("树的深度为"+depth);
    }

1.8 折痕打印（利用树的思想）

需求：
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折
痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上
到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。
给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打
印： down；N=2时，打印： down down up

分析：
我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折
痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构
来描述对折后产生的折痕。（倒过来形成的树的中序遍历的结果实际上就是从上到下的折痕顺序）
这棵树有这样的特点：
1.根结点为下折痕；
2.每一个结点的左子结点为下折痕；
3.每一个结点的右子结点为上折痕；

构建深度为N的折痕树：
1.第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
3.循环遍历队列（利用层次遍历的思想寻找到叶子节点给其添加左右子树即折痕）：
3.1从队列中拿出一个结点；
3.2如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
3.3如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
3.4判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一
个值为up的右子结点。

package algorithm.tree;

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public class PageFolding {
    public static void main(String[] args) {
        //构建折痕树
        Node tree = createTree(2);
        //遍历折痕树并打印
        printTree(tree);
    }

    private static void printTree(Node root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        //中序遍历
        //先访问左子树
        printTree(root.left);
        //访问当前节点
        System.out.print(root.item+" ");
        //访问右子树
        printTree(root.right);

    }

    private static Node createTree(int N) {
        Node root = null;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if(i == 0){
                root = new Node("down", null, null);
            }else{
                //2.如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点
                Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
                queue.offer(root);
                //3.村换遍历队列
                while (!queue.isEmpty()){
                    //3.1从队列中拿出一个节点，
                    Node n = queue.poll();
                    //3.2 如果这个节点的左节点不为空，将其左子节点添加到队列中
                    if(n.left!=null){
                        queue.offer(n.left);
                    }
                    //3.3 如果这个节点的右节点不为空，将其右子节点添加到队列中
                    if(n.right!=null){
                        queue.offer(n.right);
                    }
                    //3.4如果左右节点为空，则需要为其添加左右折痕
                    if(n.left==null && n.right == null){
                        n.left = new Node("down", null, null);
                        n.right = new Node("up", null, null);
                    }
                }
            }
        }
        return root;
    }
    //1.定义结点类
    private static class Node{
        //存储结点元素
        String item;
        //左子节点
        Node left;
        //右子结点
        Node right;
        public Node(String item, Node left, Node right) {
            this.item = item;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

}