题目

假设有一种病叫做“贝叶死”，它的发病率是万分之一，即 10000 人中会有 1 个人得病。现有一种测试可以检验一个人是否得病的准确率是 99.9%，它的误报率是 0.1%，那么现在的问题是，如果一个人被查出来患有“叶贝死”，实际上患有的可能性有多大？
你可能会想说，既然查出患有“贝叶死”的准确率是 99.9%，那是不是实际上患“贝叶死”的概率也是 99.9% 呢？实际上不是的。你自己想想，在 10000 个人中，还存在 0.1% 的误查的情况，也就是 10 个人没有患病但是被诊断成阳性。当然 10000 个人中，也确实存在一个患有贝叶死的人，他有 99.9% 的概率被检查出来。所以你可以粗算下，患病的这个人实际上是这 11 个人里面的一员，即实际患病比例是 1/11≈9%。

前置知识

边缘概率

又称先验概率，是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。一般代表通过经验来判断事情发生的概率，比如说“贝叶死”的发病率是万分之一，就是先验概率。再比如南方的梅雨季是 6-7 月，就是通过往年的气候总结出来的经验，这个时候下雨的概率就比其他时间高出很多。
边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为，B的边缘概率表示为。

条件概率

也称为后验概率，就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为，读作“在B条件下A的概率”。
比如说某人查出来了患有“贝叶死”，那么患病的原因可能是 A、B 或 C。患有“贝叶死”是因为原因 A 的概率就是后验概率。

联合概率

表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者,或者。

似然函数

你可以把概率模型的训练过程理解为求参数估计的过程。举个例子，如果一个硬币在 10 次抛落中正面均朝上。那么你肯定在想，这个硬币是均匀的可能性是多少？这里硬币均匀就是个参数，似然函数就是用来衡量这个模型的参数。似然在这里就是可能性的意思，它是关于统计参数的函数。

贝叶斯定理

实际上贝叶斯原理就是求解后验概率，我们假设：A 表示事件 “测出为阳性”, 用 B1 表示“患有贝叶死”, B2 表示“没有患贝叶死”。根据上面那道题，我们可以得到下面的信息。
患有贝叶死的情况下，测出为阳性的概率为，没有患贝叶死，但测出为阳性的概率为。另外患有贝叶死的概率为，没有患贝叶死的概率。

• 那么我们检测出来为阳性，而且是贝叶死的概率
• 那么我们检测出来为阳性，但不是贝叶死的概率

然后我们想求得是检查为阳性的情况下，患有贝叶死的概率，也即是。
那么我们就可以通过这样一个公式得到

下面我们根据上面的例子考虑一下这个问题：是在B发生的情况下A发生的可能性。

• 首先，事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率判断，称为A的先验概率，用表示；
• 其次，事件B发生之后，我们对事件A的发生概率重新评估，称为A的后验概率，用表示；
• 类似的，事件A发生之前，我们对事件B的发生有一个基本的概率判断，称为B的先验概率，用表示；
• 同样，事件A发生之后，我们对事件B的发生概率重新评估，称为B的后验概率，用表示。

贝叶斯公式的表示如下所示：

上面的贝叶斯公式就是由条件概率得到的，根据条件概率的定义，在事件B发生的条件下事件A发生的概率是

同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率

整理与合并上述两个方程式，便可以得到：

接着，上式两边同除以P(B)，若P(B)是非零的，我们便可以得到贝叶斯定理的公式表达式了。
当然下面的这种形式也是对的