第 8 章 查找算法

1、查找算法介绍

  • 顺序(线性)查找
  • 二分查找/折半查找
  • 插值查找
  • 斐波那契查找

2、线性查找

  • 编写线性查找算法代码 ```java public class SeqSearch {

    public static void main(String[] args) {

    1.   int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };// 没有顺序的数组
    2.   int index = seqSearch(arr, -11);
    3.   if (index == -1) {
    4.       System.out.println("没有找到到");
    5.   } else {
    6.       System.out.println("找到，下标为=" + index);
    7.   }

    }

    /**

    • 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
    • @param arr
    • @param value
    • @return */ public static int seqSearch(int[] arr, int value) { // 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标 for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      1.  if (arr[i] == value) {
      2.      return i;
      3.  }
      } return -1; }

}

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. 找到，下标为=4

3.二分查找

3.1、二分查找思路

  • 二分查找算法的前提：数组必须是有序数组
  • 二分查找算法思路分析（递归版）：

定义两个辅助指针：left、right ，待查找的元素在 arr[left]~arr[right] 之间
left 初始值为 0 ，right 初始值为 arr.length - 1
将数组分成两半：int mid = (left + right) / 2; ，取数组中间值与目标值 findVal 比较>
如果 mid > findVal ，说明待查找的值在数组左半部分
如果 mid < findVal ，说明待查找的值在数组右半部分
如果 mid == findVal ，查找到目标值，返回即可
何时终止递归？分为两种情况：
找到目标值，直接返回目标值 findVal ，结束递归即可
未找到目标值：left > right，这样想：如果递归至数组中只有一个数时（left == right），还没有找到目标值，继续执行下一次递归时， left 指针和 right 指针总有一个会再走一步，这时 left 和 right 便会错开，此时 left > right ，返回 -1 并结束递归表示没有找到目标值
image.png

3.2、代码实现

3.2.1、二分查找（单个值）

  • 编写二分查找算法：查找到目标值就返回 ```java //注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的. public class BinarySearch {

    public static void main(String[] args) {

    1.   int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
    2.   int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
    3.   System.out.println("resIndex=" + resIndex);

    }

    // 二分查找算法 /**

    • @param arr 数组
    • @param left 左边的索引
    • @param right 右边的索引
    • @param findVal 要查找的值

    • @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1 */ public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {

      // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到 if (left > right) {

      1.  return -1;

      } int mid = (left + right) / 2; int midVal = arr[mid];

      if (findVal > midVal) { // 向 右递归

      1.  return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);

      } else if (findVal < midVal) { // 向左递归

      1.  return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);

      } else {

      1.  return mid;

      }

      }

} //注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的. public class BinarySearch {

  1. public static void main(String[] args) {
  3.     int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
  4.     int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
  5.     System.out.println("resIndex=" + resIndex);
  7. }
  9. // 二分查找算法
  10. /**
  11.  * 
  12.  * @param arr     数组
  13.  * @param left    左边的索引
  14.  * @param right   右边的索引
  15.  * @param findVal 要查找的值
  16.  * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
  17.  */
  18. public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
  20.     // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
  21.     if (left > right) {
  22.         return -1;
  23.     }
  24.     int mid = (left + right) / 2;
  25.     int midVal = arr[mid];
  27.     if (findVal > midVal) { // 向 右递归
  28.         return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
  29.     } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
  30.         return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
  31.     } else {
  33.         return mid;
  34.     }
  36. }

}

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. resIndex=4

3.2.2、二分查找（所有值）

  • 编写二分查找算法：查找到所有目标值，在找到目标值之后，分别往左、往右进行扩散搜索 ```java //注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的. public class BinarySearch {

    public static void main(String[] args) {

    1.   int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234 };
    2.   List<Integer> resIndexList = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
    3.   System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);

    }

  1. // 完成一个课后思考题:
  2. /*
  3.  * 课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中， 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的
  4.  * 1000
  5.  * 
  6.  * 思路分析 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
  7.  * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList 4. 将Arraylist返回
  8.  */
  10. public static List<Integer> binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
  12.     // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
  13.     if (left > right) {
  14.         return new ArrayList<Integer>();
  15.     }
  16.     int mid = (left + right) / 2;
  17.     int midVal = arr[mid];
  19.     if (findVal > midVal) { // 向 右递归
  20.         return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
  21.     } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
  22.         return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
  23.     } else {
  24.         // 思路分析
  25.         // 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
  26.         // 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
  27.         // 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
  28.         // 4. 将Arraylist返回
  30.         List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
  31.         // 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
  32.         int temp = mid - 1;
  33.         while (true) {
  34.             if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出
  35.                 break;
  36.             }
  37.             // 否则，就temp 放入到 resIndexlist
  38.             resIndexlist.add(temp);
  39.             temp -= 1; // temp左移
  40.         }
  41.         resIndexlist.add(mid); //
  43.         // 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
  44.         temp = mid + 1;
  45.         while (true) {
  46.             if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出
  47.                 break;
  48.             }
  49.             // 否则，就temp 放入到 resIndexlist
  50.             resIndexlist.add(temp);
  51.             temp += 1; // temp右移
  52.         }
  54.         return resIndexlist;
  55.     }
  57. }

}

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. resIndexList=[4, 5, 6]

4、插值查找

4.1、插值查找基本介绍

  • 插值查找算法类似于二分查找， 不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

    4.2、插值查找图解

    将折半查找中的求 mid 索引的公式 , low 表示左边索引 left ，high 表示右边索引 right ，key 就是前面我们讲的 findVal
    图中公式：int mid = low + (high - low) (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;
    对应前面的代码公式：
    int mid = left + (right – left)     (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])
    image.png
    大致思路和二分查找一样，有如下不同：
    寻找 mid 公式不同：

int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left]);

由于公式中出现 findVal ，所以 findVal 的值不能过大或者过小，否则会引起 mid 过大或过小，引起数组越界问题，

添加判断：findVal < arr[left] 和 findVal > arr[right]
why？findVal = arr[left] 时，mid = left；findVal = arr[right] 时，mid = right；
image.png

4.3、代码实现

  • 编写插值查找算法 ```java public class InsertValueSearch {

    public static void main(String[] args) {

    1.   int [] arr = new int[100];
    2.   for(int i = 0; i < 100; i++) {
    3.       arr[i] = i + 1;
    4.   }        
    5.   int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);
    6.   System.out.println("index = " + index);

    }

    //编写插值查找算法 //说明：插值查找算法，也要求数组是有序的 /**

    • @param arr 数组
    • @param left 左边索引
    • @param right 右边索引
    • @param findVal 查找值

    • @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1 */ public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {

      System.out.println(“插值查找次数~~”);

      //注意：findVal < arr[left] 和 findVal > arr[right] 必须需要，否则我们得到的 mid 可能越界 // findVal < arr[left] ：说明待查找的值比数组中最小的元素都小 // findVal > arr[right] ：说明待查找的值比数组中最大的元素都大 if (left > right || findVal < arr[left] || findVal > arr[right]) {

      1.  return -1;

      }

      // 求出mid, 自适应，额，这不就是一次函数吗 // findVal = arr[left] 时，mid = left // findVal = arr[right] 时，mid = right int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]); int midVal = arr[mid]; if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归

      1.  return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);

      } else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找

      1.  return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);

      } else {

      1.  return mid;

      }

      } }

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. 插值查找次数~~
  5. index = 0

4.4、总结

  • 对于数据量较大，关键字分布比较均匀（最好是线性分布）的查找表来说，采用插值查找，速度较快
  • 关键字分布不均匀的情况下， 该方法不一定比折半查找要好

斐波那契 查找

5.1、斐波那契数列

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分， 使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。 取其前三位数字的近似值是 0.618。 由于按此比例设计的造型十分美丽， 因此称为黄金分割， 也称为中外比。 这是一个神奇的数字， 会带来意想不到的效果。
斐波那契数列 { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例， 无限接近 黄金分割值 0.618

5.2、斐波那契查找介绍

那为什么一定要等分呐？能不能进行“黄金分割”？也就是 mid = left+0.618(right-left) ，当然mid 要取整数。如果这样查找，时间复杂性是多少？也许你还可以编程做个试验，比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。

斐波那契查找算法又称为黄金分割法查找算法，斐波那契查找原理与前两种相似， 仅仅改变了中间结点（mid） 的位置，mid 不再是中间或由插值计算得到，而是位于黄金分割点附近， 即 mid = low + F(k-1) - 1

对 F(k)-1 的理解

  • 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质， 可以得到 ```java F[k]-1） =（F[k-1]-1） +（F[k-2]-1） + 1 
  1. 该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1， 则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段 ，即如图所示。 从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1 ，类似的， 每一子段也可以用相同的方式分割<br />但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1， 所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。 这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可<br />为什么数组总长度是 F(k) - 1 ，而不是 F(k) ？因为凑成 F(k-1) 才能找出中间值，如果数组长度为 F(k) ，而 F(k) = F(k-1) + F(k-2) ，咋个找中间值嘞？<br />为什么数组左边的长度是 F(k-1) - 1 ，数组右边的长度是 F(k-2) - 1 ？就拿个斐波那契数列来说：{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } ，54 = 33 + 20 + 1 ，左边是不是 F(k-1) - 1 ，右边是不是 F(k-2) - 1 ，也恰好空出了一个中间值~~~
  3. ![image.png](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/2673847/1642473976016-2e9bcdfc-38f9-4e93-8eb4-3f92665d912f.png#clientId=u2a1fad2a-5836-4&crop=0&crop=0&crop=1&crop=1&errorMessage=unknown%20error&from=paste&height=200&id=u7c5273db&margin=%5Bobject%20Object%5D&name=image.png&originHeight=200&originWidth=634&originalType=binary&ratio=1&rotation=0&showTitle=false&size=39907&status=error&style=none&taskId=u45af7f9f-f2eb-4c98-8841-958b8653540&title=&width=634)
  4. <a name="Q7BIS"></a>
  5. ### 5.3、斐波那契查找思路
  6. 先根据原数组大小，计算斐波那契数列的得 k 值<br />数组扩容条件是：增大 k 值（索引从 0 开始），使得数组长度刚好大于或者等于斐波那契数列中的 F[k]-1 ，我们定义临时数组 temp ，temp 后面为 0 的元素都按照数组最大元素值填充<br />何时终止斐波那契查找？<br />     找到目标值：直接返回目标值索引<br />      没有找到目标值：low 指针和 high 指针相等或者擦肩而过，即 low >= high<br />为什么 low == high 时需要单独拎出来？<br />low == high 时说明此时数组中只剩下一个元素（a[low] 或者 a[high]）没有与目标值比较，并且此时 k 有可能等于 0 ，无法执行 mid = low + f[k - 1] - 1; 操作（k - 1 将导致数组越界）<br />解决办法：我们在程序的最后，将 a[low] 或者 a[high] 单独与目标值 value 进行比较即可，我是通过 Debug 解决数组越界异常的，我并没有想明白，但是不把 low == high 单独拎出来，就会抛异常，哎，烧脑壳~~~改天再想<br />mid 值怎么定？mid = low + f[k - 1] - 1 ：用黄金分割点确定 mid 的值<br />左右两条路，你怎么选？<br />key < temp[mid] ：目标值在黄金分割点的左边，看上面的图，应该是 k -= 1;<br />key > temp[mid] ：目标值在黄金分割点的右边，看上面的图，应该是 k -= 2;<br />key = temp[mid] ：找到目标值，因为数组经历过扩容，后面的值其实有些是多余的，mid 可能会越界（相对于原数组来说）<br />mid <= high ：证明 mid 索引在原数组中，返回 mid<br />mid > high 时，证明 mid 索引已经越界（相对于原数组来说），返回 high
  8. <a name="BGCjx"></a>
  9. ### 5.4、代码实现
  11. - 编写斐波那契查找算法
  12. ```java
  13. public class FibonacciSearch {
  15.     public static int maxSize = 20;
  17.     public static void main(String[] args) {
  19.         int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };
  20.         System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 5));
  22.     }
  24.     // 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
  25.     // 非递归方法得到一个斐波那契数列
  26.     public static int[] fib() {
  27.         int[] f = new int[maxSize];
  28.         f[0] = 1;
  29.         f[1] = 1;
  30.         for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
  31.             f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
  32.         }
  33.         return f;
  34.     }
  36.     // 编写斐波那契查找算法
  37.     // 使用非递归的方式编写算法
  38.     /**
  39.      * 
  40.      * @param a   数组
  41.      * @param key 我们需要查找的关键码(值)
  42.      * @return 返回对应的下标，如果没有-1
  43.      */
  44.     public static int fibSearch(int[] a, int key) {
  45.         int low = 0;
  46.         int high = a.length - 1;
  47.         int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
  48.         int mid = 0; // 存放mid值
  49.         int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列
  50.         // 获取到斐波那契分割数值的下标
  51.         while (high > f[k] - 1) {
  52.             k++;
  53.         }
  54.         // 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
  55.         // 不足的部分会使用0填充
  56.         int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
  57.         // 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
  58.         // 举例:
  59.         // temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234,
  60.         // 1234,}
  61.         for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
  62.             temp[i] = a[high];
  63.         }
  65.         // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
  66.         while (low < high) { // 只要这个条件满足，就可以找
  67.             mid = low + f[k - 1] - 1;
  68.             if (key < temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的前面查找(左边)
  69.                 high = mid - 1;
  70.                 // 为甚是 k--
  71.                 // 说明
  72.                 // 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
  73.                 // 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
  74.                 // 因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
  75.                 // 即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
  76.                 // 即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
  77.                 k--;
  78.             } else if (key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
  79.                 low = mid + 1;
  80.                 // 为什么是k -=2
  81.                 // 说明
  82.                 // 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
  83.                 // 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
  84.                 // 3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
  85.                 // 4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
  86.                 // 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
  87.                 k -= 2;
  88.             } else { // 找到
  89.                 // 需要确定，返回的是哪个下标
  90.                 if (mid <= high) {
  91.                     return mid;
  92.                 } else {
  93.                     return high;
  94.                 }
  95.             }
  96.         }
  97.         if(a[low]==key) {
  98.             return low;
  99.         }
  100.         else {
  101.             return -1;
  102.         }
  103.     }
  104. }
  • 程序运行结果 ```java index=4

```