1、递归介绍

1.1、递归应用场景

  • 看个实际应用场景， 迷宫问题(回溯)， 递归(Recursion)

image.png

1.2、递归的概念

  • 简单的说: 递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量，递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。

    1.3、递归调用机制

  • 打印问题

image.png

  • 阶乘问题 ```java // 阶乘问题 public static int factorial(int n) { if (n == 1) {
    1.   return 1;
    } else {
    1.   return factorial(n - 1) * n;
    } }
  1. <a name="fmnHw"></a>
  2. ### 1.4、递归能解决什么问题
  4. - 各种数学问题如: **8 皇后问题，汉诺塔，阶乘问题，迷宫问题，球和篮子的问题**(google 编程大赛)
  5. - 各种算法中也会使用到递归， 比如**快排， 归并排序， 二分查找， 分治算法**等.
  6. - 将用栈解决的问题 --> 递归代码比较简洁
  7. <a name="ELZqt"></a>
  8. ### 1.5、递归需遵循的规则
  10. - 执行一个方法时， 就创建一个新的受保护的独立空间(一个线程有自己独立的一个栈空间，每个方法调用对应着一个栈帧)
  11. - **方法的局部变量是独立的， 不会相互影响, 比如 n 变量**
  12. - **如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)， 就会共享该引用类型的数据**
  13. - **递归必须向退出递归的条件逼近， 否则就是无限递归**，出现 StackOverflowError， 死龟了 😃
  14. - 当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，**遵守谁调用，就将结果返回给谁**，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕。
  15. <a name="O5sZV"></a>
  16. ## 2、递归-迷宫问题
  17. <a name="iPLJD"></a>
  18. ### 2.1、代码思路
  20. - 使用二维数组 map[][] 模拟迷宫
  21. - 约定： 当 map[i][j] 为 **0 表示该点没有走过；当为 1 表示墙；2 表示通路可以走 ；3 表示该点已经走过，但是走不通**
  22. - **setWay() 方法用于找路，true 表示该路可以走通，false 表示该路走不通**
  23. - **在走迷宫时，需要确定一个策略(方法)** 下->右->上->左 , 一步一步向前试探，如果该点走不通，再回溯
  25. 每当走到一个点时，将该点置为 2 ，暂时假设该路能走通，至于到底走不走得通，得看后面有没有找到通路
  27. - **如果后面的路能走通，从最后一个点开始返回，整个 setWay() 递归调用链都返回 true**
  28. - **如果后面的路不能走通，那么将当前的点设置为 3 ，表示是死路，走不通，回溯至上一个点，看看其他方向能不能走通**
  29. <a name="VysJE"></a>
  30. ### 2.2、代码实现
  32. - 迷宫问题递归解法
  33. ```java
  34. // 使用递归回溯来给小球找路
  35. // 说明
  36. // 1. map 表示地图
  37. // 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
  38. // 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
  39. // 4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
  40. // 5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
  41. /**
  42.  * 
  43.  * @param map 表示地图
  44.  * @param i   从哪个位置开始找
  45.  * @param j
  46.  * @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
  47.  */
  48. public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
  49.     if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
  50.         return true;
  51.     } else {
  52.         if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过
  53.             // 按照策略 下->右->上->左 走
  54.             map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
  55.             if (setWay(map, i + 1, j)) {// 向下走
  56.                 return true;
  57.             } else if (setWay(map, i, j + 1)) { // 向右走
  58.                 return true;
  59.             } else if (setWay(map, i - 1, j)) { // 向上走
  60.                 return true;
  61.             } else if (setWay(map, i, j - 1)) { // 向左走
  62.                 return true;
  63.             } else {
  64.                 // 说明该点是走不通，是死路
  65.                 map[i][j] = 3;
  66.                 return false;
  67.             }
  68.         } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
  69.             return false;
  70.         }
  71.     }
  72. }
  74. // 修改找路的策略，改成 上->右->下->左
  75. public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
  76.     if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok
  77.         return true;
  78.     } else {
  79.         if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过
  80.             // 按照策略 上->右->下->左
  81.             map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通.
  82.             if (setWay2(map, i - 1, j)) {// 向上走
  83.                 return true;
  84.             } else if (setWay2(map, i, j + 1)) { // 向右走
  85.                 return true;
  86.             } else if (setWay2(map, i + 1, j)) { // 向下走
  87.                 return true;
  88.             } else if (setWay2(map, i, j - 1)) { // 向左走
  89.                 return true;
  90.             } else {
  91.                 // 说明该点是走不通，是死路
  92.                 map[i][j] = 3;
  93.                 return false;
  94.             }
  95.         } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1（墙体）， 2（已经走过的格子）， 3（已经走过，并且无法走通的格子） 
  96.             return false;
  97.         }
  98.     }
  99. }

  • 测试代码 ```java public static void main(String[] args) { // 先创建一个二维数组，模拟迷宫 // 地图 int[][] map = new int[8][7]; // 使用1 表示墙 // 上下全部置为1 for (int i = 0; i < 7; i++) {

    1.   map[0][i] = 1;
    2.   map[7][i] = 1;

    }

    // 左右全部置为1 for (int i = 0; i < 8; i++) {

    1.   map[i][0] = 1;
    2.   map[i][6] = 1;

    } // 设置挡板, 1 表示 map[3][1] = 1; map[3][2] = 1; map[4][4] = 1; map[5][4] = 1; map[6][4] = 1; map[4][4] = 1;

    // 输出地图 System.out.println(“地图的情况”); for (int i = 0; i < 8; i++) {

    1.   for (int j = 0; j < 7; j++) {
    2.       System.out.print(map[i][j] + " ");
    3.   }
    4.   System.out.println();

    }

    // 使用递归回溯给小球找路 setWay(map, 1, 1); // setWay2(map, 1, 1);

    // 输出新的地图, 小球走过，并标识过的地图 System.out.println(“小球走过，并标识过的 地图的情况”); for (int i = 0; i < 8; i++) {

    1.   for (int j = 0; j < 7; j++) {
    2.       System.out.print(map[i][j] + " ");
    3.   }
    4.   System.out.println();

    }

}

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. 地图的情况
  5. 1 1 1 1 1 1 1 
  6. 1 0 0 0 0 0 1 
  7. 1 0 0 0 0 0 1 
  8. 1 1 1 0 0 0 1 
  9. 1 0 0 0 1 0 1 
  10. 1 0 0 0 1 0 1 
  11. 1 0 0 0 1 0 1 
  12. 1 1 1 1 1 1 1 
  13. 小球走过，并标识过的 地图的情况
  14. 1 1 1 1 1 1 1 
  15. 1 2 0 0 0 0 1 
  16. 1 2 2 2 0 0 1 
  17. 1 1 1 2 2 2 1 
  18. 1 3 3 3 1 2 1 
  19. 1 3 3 3 1 2 1 
  20. 1 3 3 3 1 2 1 
  21. 1 1 1 1 1 1 1
  • 搞不清逻辑的话，可以自己玩一玩 ```java 地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
  1. 程序执行逻辑分析
  3. - 第一阶段：按照 下->右->上->左 的策略，走入了死胡同
  5. ![image.png](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/2673847/1641865447344-84286c96-4738-4663-8bfc-102a91bc7bab.png#clientId=u0ab6c2e5-7013-4&crop=0&crop=0&crop=1&crop=1&errorMessage=unknown%20error&from=paste&height=289&id=u83d3b3f4&margin=%5Bobject%20Object%5D&name=image.png&originHeight=289&originWidth=223&originalType=binary&ratio=1&rotation=0&showTitle=false&size=8964&status=error&style=none&taskId=uf1f23b2f-e384-4a78-b42e-12957823290&title=&width=223)<br />![image.png](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/2673847/1641865453978-467797cb-8356-458e-a866-502d04edab17.png#clientId=u0ab6c2e5-7013-4&crop=0&crop=0&crop=1&crop=1&errorMessage=unknown%20error&from=paste&height=287&id=ub9a79ad4&margin=%5Bobject%20Object%5D&name=image.png&originHeight=287&originWidth=219&originalType=binary&ratio=1&rotation=0&showTitle=false&size=18727&status=error&style=none&taskId=u25a63408-77ba-4393-9274-e49ac874e8a&title=&width=219)
  7. ```java
  8. 1 1 1 1 1 1 1 
  9. 1 2 0 0 0 0 1 
  10. 1 2 2 2 0 0 1 
  11. 1 1 1 2 0 0 1 
  12. 1 2 2 2 1 0 1 
  13. 1 2 2 2 1 0 1 
  14. 1 2 2 2 1 0 1 
  15. 1 1 1 1 1 1 1
  • 第二阶段：开始回溯，标记此路不通

image.png
image.png

  1. 1 1 1 1 1 1 1 
  2. 1 2 0 0 0 0 1 
  3. 1 2 2 2 0 0 1 
  4. 1 1 1 2 0 0 1 
  5. 1 3 3 3 1 0 1 
  6. 1 3 3 3 1 0 1 
  7. 1 3 3 3 1 0 1 
  8. 1 1 1 1 1 1 1
  • 寻找到了通往天堂的路径

image.png
image.png

  1. 1 1 1 1 1 1 1 
  2. 1 2 0 0 0 0 1 
  3. 1 2 2 2 0 0 1 
  4. 1 1 1 2 2 2 1 
  5. 1 3 3 3 1 2 1 
  6. 1 3 3 3 1 2 1 
  7. 1 3 3 3 1 2 1 
  8. 1 1 1 1 1 1 1

2.3、思考题

  • 求出最短路径（枚举可能的找路策略）

    2.4、总结

  • 刚开始我还觉得很难理解，想了想，这和递归遍历文件夹不也是有相同之处的吗？

  • 如果不进入文件夹看看，我就永远不知道这个文件夹里面是否还有子文件和子文件夹，我们需要遍历到一个文件夹的最深处，然后触底反弹
  • 如果我没有到达终点，这条路到底通不通，我并不知道，所以我先试探性地走到终点，然后从终点往前回溯？

  • 死路咋办？我也是先试探性地往前走，走不通，我回溯到之前的点，再尝试新的走法

    3、递归-八皇后问题(回溯算法 )

    3.1、八皇后问题介绍

  • 八皇后问题， 是一个古老而著名的问题， 是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯· 贝瑟尔于1848 年提出： 在 8× 8 格的国际象棋上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击， 即： 任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 问有多少种摆法(92)。

    3.2、代码思路

  • 第一个皇后先放第一行第一列

  • 第二个皇后放在第二行第一列、 然后判断是否 OK， 如果不 OK， 继续放在第二列、 第三列、 依次把所有列都放完， 找到一个合适
  • 继续第三个皇后， 还是第一列、 第二列…… ，直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置， 算是找到了一个正确解
  • 当得到一个正确解时， 在栈回退到上一个栈时， 就会开始回溯， 即将第一个皇后， 放到第一列的所有正确解，全部得到
  • 然后回头继续第一个皇后放第二列， 后面继续循环执行 1, 2, 3, 4 的步骤


image.png

3.3、代码实现

关于 array 数组的说明：

  • 理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘， 但是实际上可以通过算法， 用一个一维数组即可解决问题： array[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
  • array 数组的下标代表皇后所在的行数，array 数组中的值代表皇后所在的列数
  • 比如 a[0] = 0 ，则表示第一个皇后在第一行第一列

judge(int n) 方法：

  • 参数 n ：表示当前在放置第 n 个皇后
  • 判断是否在同一列：array[i] == array[n]
  • 判断是否在同一斜线上：Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ，即判断行差绝对值与列差绝对值是否相等

check(int n) 方法：

  • 参数 n ：当前要放置第几个皇后（索引从 0 开始，n=8 时表示八皇后放置完毕）

  • 当前放置的皇后，需要与之前的皇后位置进行比较，看看冲不冲突，所以需要一个 for 循环：for (int i = 0; i < n; i++){ ```java public class Queue8 {

    // 定义一个max表示共有多少个皇后 int max = 8; // 定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} int[] array = new int[max]; static int count = 0; static int judgeCount = 0;

    public static void main(String[] args) {

    1.   // 测试一把 ， 8皇后是否正确
    2.   Queue8 queue8 = new Queue8();
    3.   queue8.check(0);
    4.   System.out.printf("一共有%d种解法\n", count);
    5.   System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w

    }

    // 编写一个方法，放置第n个皇后 // 特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯 private void check(int n) {

    1.   if (n == max) { // n = 8 , 其实8个皇后就已经放好，因为索引从 0 开始
    2.       print();
    3.       return;
    4.   }
    6.   // 依次放入皇后，并判断是否冲突
    7.   for (int i = 0; i < max; i++) {
    8.       // 先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
    9.       array[n] = i;
    10.       // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
    11.       if (judge(n)) { // 不冲突
    12.           // 接着放n+1个皇后,即开始递归
    13.           check(n + 1); 
    14.       }
    15.       // 如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行的后移的一个位置
    16.   }

    }

    // 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突 /**

    • @param n 表示第n个皇后

    • @return */ private boolean judge(int n) { judgeCount++; for (int i = 0; i < n; i++) {

      1.  // 说明
      2.  // 1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
      3.  // 2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
      4.  // n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
      5.  // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
      6.  // 3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
      7.  if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
      8.      return false;
      9.  }

      } return true; }

      // 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出 private void print() { count++; for (int i = 0; i < array.length; i++) {

      1.  System.out.print(array[i] + " ");

      } System.out.println(); }

}

  2. - 程序运行结果
  3. ```java
  4. 0 4 7 5 2 6 1 3 
  5. 0 5 7 2 6 3 1 4 
  6. 0 6 3 5 7 1 4 2 
  7. 0 6 4 7 1 3 5 2 
  8. 1 3 5 7 2 0 6 4 
  9. 1 4 6 0 2 7 5 3 
  10. 1 4 6 3 0 7 5 2 
  11. 1 5 0 6 3 7 2 4 
  12. 1 5 7 2 0 3 6 4 
  13. 1 6 2 5 7 4 0 3 
  14. 1 6 4 7 0 3 5 2 
  15. 1 7 5 0 2 4 6 3 
  16. 2 0 6 4 7 1 3 5 
  17. 2 4 1 7 0 6 3 5 
  18. 2 4 1 7 5 3 6 0 
  19. 2 4 6 0 3 1 7 5 
  20. 2 4 7 3 0 6 1 5 
  21. 2 5 1 4 7 0 6 3 
  22. 2 5 1 6 0 3 7 4 
  23. 2 5 1 6 4 0 7 3 
  24. 2 5 3 0 7 4 6 1 
  25. 2 5 3 1 7 4 6 0 
  26. 2 5 7 0 3 6 4 1 
  27. 2 5 7 0 4 6 1 3 
  28. 2 5 7 1 3 0 6 4 
  29. 2 6 1 7 4 0 3 5 
  30. 2 6 1 7 5 3 0 4 
  31. 2 7 3 6 0 5 1 4 
  32. 3 0 4 7 1 6 2 5 
  33. 3 0 4 7 5 2 6 1 
  34. 3 1 4 7 5 0 2 6 
  35. 3 1 6 2 5 7 0 4 
  36. 3 1 6 2 5 7 4 0 
  37. 3 1 6 4 0 7 5 2 
  38. 3 1 7 4 6 0 2 5 
  39. 3 1 7 5 0 2 4 6 
  40. 3 5 0 4 1 7 2 6 
  41. 3 5 7 1 6 0 2 4 
  42. 3 5 7 2 0 6 4 1 
  43. 3 6 0 7 4 1 5 2 
  44. 3 6 2 7 1 4 0 5 
  45. 3 6 4 1 5 0 2 7 
  46. 3 6 4 2 0 5 7 1 
  47. 3 7 0 2 5 1 6 4 
  48. 3 7 0 4 6 1 5 2 
  49. 3 7 4 2 0 6 1 5 
  50. 4 0 3 5 7 1 6 2 
  51. 4 0 7 3 1 6 2 5 
  52. 4 0 7 5 2 6 1 3 
  53. 4 1 3 5 7 2 0 6 
  54. 4 1 3 6 2 7 5 0 
  55. 4 1 5 0 6 3 7 2 
  56. 4 1 7 0 3 6 2 5 
  57. 4 2 0 5 7 1 3 6 
  58. 4 2 0 6 1 7 5 3 
  59. 4 2 7 3 6 0 5 1 
  60. 4 6 0 2 7 5 3 1 
  61. 4 6 0 3 1 7 5 2 
  62. 4 6 1 3 7 0 2 5 
  63. 4 6 1 5 2 0 3 7 
  64. 4 6 1 5 2 0 7 3 
  65. 4 6 3 0 2 7 5 1 
  66. 4 7 3 0 2 5 1 6 
  67. 4 7 3 0 6 1 5 2 
  68. 5 0 4 1 7 2 6 3 
  69. 5 1 6 0 2 4 7 3 
  70. 5 1 6 0 3 7 4 2 
  71. 5 2 0 6 4 7 1 3 
  72. 5 2 0 7 3 1 6 4 
  73. 5 2 0 7 4 1 3 6 
  74. 5 2 4 6 0 3 1 7 
  75. 5 2 4 7 0 3 1 6 
  76. 5 2 6 1 3 7 0 4 
  77. 5 2 6 1 7 4 0 3 
  78. 5 2 6 3 0 7 1 4 
  79. 5 3 0 4 7 1 6 2 
  80. 5 3 1 7 4 6 0 2 
  81. 5 3 6 0 2 4 1 7 
  82. 5 3 6 0 7 1 4 2 
  83. 5 7 1 3 0 6 4 2 
  84. 6 0 2 7 5 3 1 4 
  85. 6 1 3 0 7 4 2 5 
  86. 6 1 5 2 0 3 7 4 
  87. 6 2 0 5 7 4 1 3 
  88. 6 2 7 1 4 0 5 3 
  89. 6 3 1 4 7 0 2 5 
  90. 6 3 1 7 5 0 2 4 
  91. 6 4 2 0 5 7 1 3 
  92. 7 1 3 0 6 4 2 5 
  93. 7 1 4 2 0 6 3 5 
  94. 7 2 0 5 1 4 6 3 
  95. 7 3 0 2 5 1 6 4 
  96. 一共有92种解法
  97. 一共判断冲突的次数15720次

3.4、总结

  • 还是和走迷宫一样，当前摆法行不行，需要摆完第八个皇后我才能知道

上面的解法其实是枚举

  • 第一个皇后摆在第一行第一列，然后开始试探，第二个皇后摆在哪里，才不会和第一个皇后冲突，第三个皇后摆在哪里，才不会和第二个皇后冲突。。。
  • 如果遇到冲突，则把当前正在放置的皇后往后挪一格，如果 8 列都不行，那么就回溯至上一级皇后，让它试着挪一挪