Laplace Transform 拉普拉斯变换

1 Laplace Transform 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（Laplace Transform）可以将一个时域的函数转换到复数域上，通常可以简称为拉氏变换。

函数 的拉氏变换为：

，

其中 ，， 是虚数单位 。在工程中时间都是从 0 开始的（0 以前的讨论交给哲学家哈哈哈哈），所以拉氏变换常被写作：

可以发现，当 时， 的拉氏变换就变成了傅里叶变换：

所以在 这一项中， 这一项又常被称为衰减因子，而 则是衰减因子的指数。

2 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换有一些非常好的性质，可以帮助我们大大减少分析和计算的复杂度。

2.1 Linearity 线性性

证明很简单，略。

2.2 Convolution 卷积

两个函数在时域上的卷积运算就等价于在复数域（经过拉普拉斯变换后）的乘法运算，即

其中两个函数的卷积运算：

证明如下：

这是一个关于自变量 的二重积分。 先对 积分，然后对 积分，积分区域如下

首先对 积分，当 固定的时候，在图中 是从 0 到 的一条红线就是此时 的积分区域；然后对 积分， 使得图中的红线从下往上移。所以 的积分区域就是在第一象限中直线 以上的部分，即图中红色区域。

现在我们交换一下积分的顺序，即先对 积分，然后对 积分，即如下图所示。

首先对 进行积分，，此时 的积分区域就是图中的一条竖着的红线；然后对 进行积分，此时 。所以我们交换了积分顺序，得到了：

则 (6) 式被改写为：

我们进行一个变量代换，令 ，则有 。则 的取值范围为 。变量代换的 (7) 式为：

得证。