Fourier Transform 傅里叶变换

前一阵子搞语音识别，最近又在学习图神经网络 GNN，都用到了傅里叶变换。开始学了几遍之后还是有点懵，最近饶有兴致巩固了一波线性代数知识，加之看了点大佬的视频，突然对傅里叶变换就给开窍了。趁此机会记录、巩固一波。

傅里叶变换让我们可以将一个时间域（时域）上的函数，转换为一个频率域（频域）上等价的函数。这句话比较抽象，仅仅知道傅里叶变换的推导过程是无法真正理解其内涵的。在下面的介绍与推到中，本人结合自己学习路线以及其他辅助知识，一步步深入这句话的涵义。

1 Fourier series 傅里叶级数与函数的 FS 展开

傅里叶级数（Fourier series, FS）做的事情比较直白：任何一个**周期函数**，都可以分解成一堆正弦函数 的和。而这些正弦函数的和，就是傅里叶级数。当然，因为调整一下相位就能从正弦函数得到余弦函数，所以我们也可以说，任何一个周期函数，都可以分解成一堆正弦与余弦函数的和。

在这篇文章中举了一个怎么将一个方波，逐步分解成多个正弦函数的和，比较直观，这里就不重复搬运了。本章剩下的部分就是对傅里叶级数的展开与解析。

1.1 傅里叶级数

首先给出一组概念：

1. 函数的正交性：两个函数 在区间 上正交，当且仅当 （离散形式），或者 （连续形式）

这一点不难理解，如果两个向量正交，就是两个向量对应元素的乘积和，也就是内积为 ，扩展到离散形式的函数上就是 ，进而扩展到连续域上 。

1. 三角函数系作为正交函数基：
   1. 三角函数系：
   2. 三角函数系中，每两个不同的函数在 上是正交的，即：
      1. 
      2. 
      3. 

关于上面的第 2 条三角函数系，有两个值得探究的地方：

• 关于上面三角函数的正交性，验证如下（只证明前两个，第三个同理）：

• 既然谈到了函数基，自然就会想到线性代数中的基底（basis）的概念。

在 空间中， 个互相线性独立的向量 构成这个空间的一组基底。如果这组基底中两两基底是正交的，即 ，则称为正交基；如果每个基底都是单位向量，即 ，则称为单位基。

比如在 中， 就是一组单位正交基（也叫标准正交基）。在这样一组基底之下，我们可以将 中任意一个点表示为这三个基底的线性组合

，

可以写成矩阵乘法的形式

需要强调的是，只有基底确定了，我们谈论空间中一个点的坐标才是有意义的，当然我们一般默认的就是这一组单位正交基。这里面， 叫做点 分别在 这三个基底上面的分量，我们可以说，这些分量定义了点 ，也就是说，在基底确定的情况下， 重要的是这个点在每一个基底上的分量。

那么如何求点 在某一个基底上面的分量大小呢？那就是向量的点积（内积），即向量的投影。比如：

向量 在某一个基底上面的分量大小，就是向量 在该基底上的投影大小。这一点可以扩展到非正交、非单位的基底，即对于任意一组基底都是适用的。比如下面这个例子：

假设在二维实数空间 中我们取一组单位正交基 , ；在这组基底下，有一个点 ，这句话的意思是向量 在上述两个基底上的分量分别是 和 。则通过线性组合，我们得到 点的坐标，我们记为 ：

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上式中的矩阵 是不是很眼熟？这不就是二维空间中的旋转矩阵么？这里可以联系到线性代数中的线性变换，详见链接。

如果现在我想知道点 在 坐标系中的坐标怎么办？那就是分别求 和 坐标就行啦。根据上面的理论，只需要将 和 分别做内积就行了，即：

得到 ，写成矩阵形式就是

总结一下，顺便引出信号与系统中的一个概念：

1. 空间中的某个点可以用一组基底（用矩阵 的各列表示各个基底向量）线性表示，通过这组基底的线性组合得到该点的坐标，即

其中 代表在每一个基底上的分量。这一步在信号与系统中被称为合成。

1. 想知道一个点在某一个基底 上面分量的大小，就是想得到该点在这个基底上投影的大小，即

这一步在信号与系统中被称为分析。

1.2 周期为 2π 的函数展开为傅里叶级数

有了上面的知识作为铺垫，接下来的推导就很容易展开了。我们首先推导将周期为 2π 的函数用傅里叶级数展开。至于为什么是 2π，当然因为我们提到，三角函数系在 区间上是正交的。
假设现在有函数 ，通过上面基底的概念，我们可以将 由三角函数系进行表示：

为了方便后面的推导，我们将上式改写成

剩下的问题就是求 了。结合上面提到过的，三角函数系中两两函数在 这个区间上是正交的，则我们可以通过对 (3) 式两边求积分来求出 ：

一种更好的理解求 的方法是用上面说过，信号与系统中分析的概念。三角函数系就是一组三角函数基底，而 都是 在这组基底下的分量，要想求分量的大小，只需要做向量的内积就好了。点到为止。 其实就是 上的分量，所以其实也是在就 与 在区间 上的内积。

还有一点值得注意，那就是 前都有一个系数 。它的来头也很简单 —— 三角函数系虽然两两基底是正交的，但每个基底都不是单位基底。因为

所以对于一个周期为 2π 的函数 ，有

将 展开为傅里叶级数：

其中：

1.3 周期为 2L 的函数展开为傅里叶级数

现有 ，将 使用傅里叶级数展开，只需要进行换元：
令

，

则有

我们记

则有

所以 的周期为 。所以我们对 进行傅里叶级数的展开：

其中：

随后将 带入就可以得到 的傅里叶级数展开：

其中：

而在一般工程中， 是从 0 开始的。所以我们设周期 ，，对应积分的上下限变为

则周期为 的函数 展开为傅里叶级数的一般形式为：

其中：

这样我们就将一个时域的函数 转换到了频域上，即一堆频率为 的正余弦函数；加上我们还能求出对应每个正余弦函数的振幅（amplitude），也就是分量大小，这样我们就能用这些三角函数基底来表示任意一个周期为 的函数 了。用一张 wikipedia 的动图来表示再贴切不过了：

本图来自 wikipedia

其中最精华的当属这一部分

图中红线为 ，蓝色线代表正余弦函数们，而蓝色的坐标轴上对应于每一个正余弦函数的大小，就是 这些分量的大小。

假设图中蓝色正余弦函数的频率分别为 1Hz, 10Hz, 100Hz, 1kHz, 10kHz, 100kHz，这样我们就能看出哪个频率信号对原始信号 影响最大，进而滤波，最后合成一个新的 。

1.4 傅里叶级数的复数形式

一般在实际应用中，傅里叶级数都是以复数形式出现的，因为复数形式更简洁，更好进行分析。
首先需要有一个先备知识，欧拉公式（Euler’s Formula）：

其中 是虚数单位。这个公式的证明网上有很多种，自行学习即可。
由欧拉公式我们可以推出：

进而我们可以 (7-8) 式带入到 (5) 式中，有：

即：

其中：

这还没完，我们接着求 ：

所以我们得出结论：无论 取何值，

最后，我们总结一下傅里叶级数的复数形式：
对于一个以 为周期的函数 ，即 ，我们有：

其中

2 Fourier transform 傅里叶变换

一个周期为 的时域函数可以通过傅里叶级数展开为一堆正余弦函数的和，将函数转换到频域上。同时我们还进一步得出了傅里叶级数的复数形式，也是一般常用的形式。
而傅里叶变换告诉我们，不仅周期函数能够进行傅里叶变换，即使是非周期函数也可以通过傅里叶变换转换到频域上。

一个非周期函数可以看作是一个周期无限大的函数。令 ，即有

我们定义基频率

则有

当 ，有 。将 (10) 的 带入 (9) 式，有

当 ，有 ，，，所以有

在信号分析中， 常被作为电流的符号，所以一般 被 替代：

其中

就是大名鼎鼎的傅里叶变换（Fourier Transform, TF）的一般形式。它可以将任意一个函数从时域转换到频域。因为 是一个关于频率 的函数，我们可以求出当 时 大小，其实就是函数基底的份量大小 。
傅里叶变换用信号与系统的角度来看，就是 与基底 做内积，也就是分析的过程。

而

就是傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform, IFT），可以让我们将一组信号基底重新组合成一个完整的信号。这一步也相当于合成操作。

3 DFT 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Descret Fourier Transform）就是傅里叶变换的离散形式，也是计算机实际处理信号所使用的方式。离散傅里叶变换实际做的事情，就是将原始时域输入信号

转换到频域上的个输出信号：

公式如下：

所以就是这一组输入信号在经过傅里叶变换后，频率为的分量。

有了之前连续形式傅里叶变换的推导，DFT 就好理解了很多：一个非周期函数可以看作周期，而整个序列的输入信号可以看作是关于时间的函数，我们在这个函数上采样了个点，得到，然后将函数的周期看作是这个数组的大小，进而得到了傅里叶变换的离散形式。

可以看到，的虚部为 0，即频率为 0，所以在文章中也常被称作直流分量（DC component）。

Reference

1. 傅里叶变换 B 站大佬推导
2. 傅里叶变换
3. 李宏毅 2021 春机器学习课程（GNN 部分）
4. 深入理解离散傅里叶变换