Positive Definite Matrices 正定矩阵的性质

正定阵（Positive definite matrices）一定是方阵，即 ，一般被记为 或，如果是半正定矩阵（Positive semi-definie matrices），则记为 或。

1 正定矩阵的判定

假设现有一个方阵 ：

1. 如果对于任意非零向量 都有 ，当且仅当 是正定的；如果 ，则当且仅当 是半正定的。

   这是一个充要条件，其实也是正定矩阵的定义。

2 正定矩阵的性质

2.1 正定矩阵的特征值大于 0

设 是正定矩阵，即 ， 分别是其任意一组特征值和特征向量，即 。根据判定条件 1，有

进而有

因为 ，所以 。

如果 是半正定矩阵 ，则其所有的特征值一定都 。

2.2 正定矩阵的行列式大于 0

设 是正定矩阵，即 。根据判定条件 1，对于任意的非零 有

所以

又因为 ，所以

因为 非零，所以 ，进而 。

如果 是半正定矩阵 ，则其行列式 一定 。

2.2 多个正定矩阵的和仍为正定矩阵

不予证明。