Symmetric Matrices 对称矩阵的性质

对称阵（Semmetric Matrices）一定得是方阵 ，一般被记为 其中 代表 symmetric 的意思。

1 实对称阵的特征值一定是实数

假设有实对称矩阵 ，其一组特征值和特征向量分别为 ，则有：

因为 ，对等式两边取共轭依然相等：

因为 ，对等式 (2) 两边同时求转置，有

进而有

对等式 (1) 两边同时乘上 ，有

再将 (3) 式代入，得到

可以推出 ，进而得到 是实数。

2 对称阵的两个不同的特征向量正交

假设 是对称阵，即 ，设 和 分别是 的两组特征值和特征向量，且 。有

对 (1) 等式两边取转置，有

对 (2) 等式两边乘以 ，有

因为 ，所以 ，即 和 正交。

稍微扩展一下。既然对称矩阵的两个不同的特征向量是正交的，那么一个对称矩阵的所有特征向量就是线性无关（且正交）的，如果对这一组特征向量进行标准化得到

其中，那么就是中的一组标准正交基。