Convolution 卷积

这篇文章解释的非常清楚，做一点小小的补充。文章中对于连续域上的卷积，是从信号处理的角度来解释的，但咱也不是通信专业出身的，一开始理解起来有一些吃力，如果不真正理解一个公式名字的涵义以及它计算的意义，以我这脑子是根本记不住的。。。

1 对于“卷积”这两个字的理解

首先卷积运算有连续形式和离散形式：

• 连续形式：

• 离散形式：

• “卷”的涵义就是把 函数沿着 轴进行翻转（也就是卷起来）
• “积”的意思很简单，其实就是将卷过去的 函数与 对应位置相乘，不过还有一步是乘起来以后相加

  所以通俗起来说，卷积就是“卷起来再累积”

（摘用上述文章中的一句话）所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。
在连续的情况下，“叠加”指的是对两个函数的乘积求积分，在离散的情况下就是加权求和，统称叠加。

在这里，我的理解是，不管连续还是离散的情况，其实都是在做加权和。这样看还是非常抽象的，需要用信号处理中一个实际的例子才能完全体会卷积到底在算什么。

2 连续域上的卷积实例

是信号处理里面的一个例子，看下面这张图。 是输入信号，随时间变化而变化； 是响应函数，是一个随时间指数下降的函数。理解 对理解这里的卷积运算非常关键： 代表在 时刻输入的信号 ，在经过时间 后，它的实际信号强度衰减了多少倍。比如在第 0 时刻输入的 ，经过 1 个单位时间后，实际信号强度为 ，经过 2 个单位时间后，实际信号强度为 。同理，在 时刻输入的信号 ，经过 4 个时间单位后也就是 的时候，实际信号强度已经衰减到了 。

因为信号的输入是连续的，即每一时刻都会有新的信号输入进来。所以最终某一时刻系统的输出，是所有该时刻以前所有输入的累积效应。所以就有了下图的对应相乘然后相加。在 时候系统的总体输出效果为前面所有输入衰减到该时刻后的加和，参与卷积的点有 0~10 共 11 个。而当 取不同的值，参与卷积的点也会变化。

这样看比较别扭，所以把 函数对着一下，变成 ：

最后通过平移解决错位，将 向右平移 个单位长度，得到 ：

随着时间的推移（即 不断变大）， 函数也在不断向右平移。

所以连续域上的卷积，实际上分为三步：

翻转 =====> 滑动 ====> 叠加 ====> 滑动 ====> 叠加 ====> 滑动 ====> 叠加 ……

3 离散域上的卷积实例

关于离散域上的卷积，实际上就是加权求和。最典型的就是图像处理里面的卷积。当然图像中实际的卷积，其实是互相关运算，而且运算是通过卷积核实现的。

• 用来模糊图像的卷积核：

其实就是对周围 9 个临近的像素进行平均，达到模糊图像的效果。其实所谓的图像模糊，从像素的角度来看，就是临近的像素值大小更接近了，而模糊之前图像的相邻像素值之间差距可能比较明显，所以显得比较清晰。

• 而边缘提取的卷积核，实际上是利用了加权求和的方式，计算了一个临近区域内的梯度：

这里其实计算的是水平方向的梯度，假设某 的图像为：

那么这个水平方向的梯度实际上就是：

还是从像素的角度来看，邻近区域像素值差异越大，这里边缘的效果就越明显，即梯度越大。