Talor's Formula 泰勒公式

Talor’s Formula 泰勒公式

泰勒公式的思想很简单，就是想用一个 次多项式函数 来逼近函数 。

更详细一点，是希望使用 来近似计算 在一点 的函数值。即

既然是逼近 ，那么我们自然就会希望 ，即得到

为了不光是函数值逼近，我们还希望函数 的形状能够逼近 ，所以自然有了二阶导数和三阶导数也是近似（, ）的：

最后我们希望 次逼近，所以 和 在 点的 阶导数可以相似：

所以我们得到了在 这一点，函数

如果不是在 这一点，而是在任意的一个 点对 进行展开（逼近），那么上式则变成

毕竟是用多项式函数来逼近 ，所以一定是会有误差的，这个误差就是泰勒公式的余项：

其中 的取值范围是位于 和 之间。所以最终 在 点的泰勒展开式为：

可以证明， 是一个无穷小量。当 的时候，这个 的表达式被称为 阶麦克劳林公式，也是比较常用的。比如

Q & A

1. 为什么使用多项式函数来拟合

多项式函数研究最广泛，简单。

1. 如何确保逼近的精度

分析精度那就要从余项 入手。很直观：

• 当 越大的时候
• 当 与 越接近的时候

精度越高。

Reference

1. https://www.bilibili.com/video/BV1x54y1v71f
2. https://www.bilibili.com/video/BV1Gx411Y7cz