Directional derivative 方向导数

一言以蔽之，方向导数就是函数沿着某一个方向的导数。
假设现在有曲面 Gradient 梯度 - 图1 和一单位向量 Gradient 梯度 - 图2，则曲面 Gradient 梯度 - 图3 在点 Gradient 梯度 - 图4 沿着 Gradient 梯度 - 图5 的方向走一很小步 Gradient 梯度 - 图6，则有

Gradient 梯度 - 图7
则有方向导数：

Gradient 梯度 - 图8

而其中的 Gradient 梯度 - 图9 就是所谓的梯度。

进一步展开最后一步推导可以发现：

Gradient 梯度 - 图10,

其中，Gradient 梯度 - 图11, Gradient 梯度 - 图12

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则可知，当 Gradient 梯度 - 图13%22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-3D5%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-3D%22%20x%3D%22874%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-30%22%20x%3D%221930%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=%5Cphi%20%3D%200&id=eInBA) 或者 Gradient 梯度 - 图14 的时候，即 Gradient 梯度 - 图15 或者 Gradient 梯度 - 图16，此时向量 Gradient 梯度 - 图17 在点 Gradient 梯度 - 图18 上与单位向量 Gradient 梯度 - 图19 同向或者反向，此时方向导数的绝对值最大。所以沿着梯度的方向，函数值增长（下降）的速度最快。
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