上一节我们已经得到了一个受到弹簧弹力()，活塞的摩擦力()和外力()的二阶物理系统

现在，我们假设, 得到一个homogeneous equation 当然，因为这仍然是一个物理系统，我们需要对这个方程的系数做一些限制 接下来，我们将对三者的关系进行讨论，得到不同特性的**unforced oscillator**

1 Undamped Harmonic Oscillator⭐

Intro

当时，, 这个简谐振子(simple harmonic oscillator)的自然频率

分析

算例

RRF(Resonant Response Formula)

2 Damped Harmonic Oscillator⭐⭐⭐

2.0 总览

2.1 Underdamping(non-real complex roots)

推导

分析

系统的Response形如

• 由于,会随着的增大逐渐变为。也就是振幅会越来越小,趋近于0
• 我们习惯于把叫做**damped angular frequency**或者**pseudofrequency**

算例

2.2 Overdamping(distinct real roots)

推导

由于, 所以可以推导出，两个实根一定都是负的

分析

由于我们的中没有出现三角函数，所以系统实际上是不会振动的, 最后趋近于稳定点 下面是一段弹簧门的描述:

算例

2.3 Critically Damping

推导

算例

2.4 比较分析

3 练习

课堂练习⭐

练习1

Assume an unforced overdamped spring-mass dashpot started at . Show that it never crosses the equilibrium position for

:::success 我们有,

• 因为overdamped的情况下, 我们的
• 我们有,也就是

接下来我们假设在某个的瞬间与轴相交了
，

我们联立, 得到： ,, 与我们的假设矛盾，所以不存在这样的 :::

练习2

Show that regardless of initial condition, an overdamped oscillator can cross equilibrium position at most once

:::success 根据, 当时，有且仅有一个满足 :::

课后作业

Problem Set