1 微分符号

定义

Operators是定义在函数上的，输入输出均为函数 比如，我们有:

• Shift-by-a Operator: 将映射为从而是函数图像向右移动个单位
• Multiply-by-h(t) Operator: 将映射为,实际上就是两个函数的组合

这里，我们将介绍Differentiation Operators,其作用是将变为的形式，也就是对函数求微分

举例

我们使用作为微分符号，我们有: .

2 线性常系数微分方程中的微分符号

一个任意的阶线性微分方程可以写成

:::success 这里我们只考虑，是常数的情况, 于是我们有:
, , 于是我们有
::: :::warning 就是**polynomial differential Operators with constant coefficients**
我们的输入就是一个的函数，输出就是 :::

3 微分符号的运算法则

3.1 线性法则

证明

3.2 乘法法则

3.3 替换法则

3.4 指数偏移法则

证明

算例

3.5 复数集上的推广

4 Time Invariance

定义

输入信号和输出信号在的联系下具有一种关系: Translation Invariance: 如果是一个constant-coefficient differential operator,

• 如果对于, 我们有
• 则对于, 我们有

这种现象就是的**Time Invariance**

算例

5 例题

例1

多项式输入和指数输入的结合，使用superposition即可

例2

此题较难 我们需要判断等式左侧的是否出现的现象; 发现没有出现，因此，我们可以采用和上一小节类似的猜测方式：

• 我们可以尝试先对求导看看，发现, 同时带有和, 于是我们可以将这两项看成是多项式中的两项，
• 同时我们发现等式左侧有非导数项, 于是我们可以猜测，解的形式是

例3

要注意这里有其实有四个根，两两重合。 同时，我们注意到， 方程的中含有和, 因为我们的必须和线性无关(其实根于根之间都必须要线性无关), 所以我们猜测