1 二阶物理系统

平衡位置

一个简单的二阶物理系统如图所示: image.png

受力分析

假设我们的系统受到弹力Characteristic Equation - 图2，摩擦力Characteristic Equation - 图3和一个外力Characteristic Equation - 图4， 由Characteristic Equation - 图5 我们有: Characteristic Equation - 图6 下面我们在Characteristic Equation - 图7是进行受力分析

弹力分析

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摩擦力分析(damping)

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标准方程

最后我们可以得到一个二阶常系数微分方程Characteristic Equation - 图10

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2 线性微分方程

定义

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二阶常系数微分方程

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无阻尼的二阶常系数微分方程

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3 特征多项式⭐

二阶的情况

对于一个二阶微分方程Characteristic Equation - 图16来说，它的特征方程是Characteristic Equation - 图17

推广到n阶

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4 Modes and Roots⭐⭐⭐

特征方程的解成为Modal Solution,也被成为系统的Mode 在Unit 1中我们知道，特征方程的解Characteristic Equation - 图19对应了系统的其中一个homogeneous solutionCharacteristic Equation - 图20 下面我们将讨论特征方程的根的情况

两个实数根

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两个复数根

Real Solution Theroem⭐⭐

如果Characteristic Equation - 图22,且Characteristic Equation - 图23 那么Characteristic Equation - 图24和Characteristic Equation - 图25也是方程Characteristic Equation - 图26的解, 证明如下:

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实例

例1

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例2

注意，这里虽然看起来Characteristic Equation - 图29对应的根Characteristic Equation - 图30, Characteristic Equation - 图31对应的根Characteristic Equation - 图32会有 重复，但是上他们来自于不同的根，所以不用考虑线性无关性

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重复的实根

重根需要保持根与根之间的线性无关性，所以需要在前面乘上一个自变量

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5 练习

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