算法

1、定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2、特征

• 输入

算法具有零个或多个输入

• 输出

算法至少有一个或多个输出

• 有穷性

算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成

• 确定性

算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性

• 可行性

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

3、设计要求

• 正确性

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能得到问题的正确答案

• 可读性

算法设计的的另一个目的是为了便于阅读、理解和交流。

• 健壮性

当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果

• 时间效率高

算法执行的时间短，算法的时间效率越高

• 低存储量

算法执行过程所占存储的最大空间越低越好

4、度量方法

• 事后统计方法

通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低

缺点：

1. 必须依赖编制好的程序，需要花费大量的时间和精力
2. 时间的比较依赖计算机的硬件和软件等环境因素
3. 算法的测试数据设计困难

• 事前分析估算方法

在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

影响因素：

1. 算法采用的策略、方法。
2. 编译产生的代码质量。
3. 问题的输入规模。
4. 机器执行指令的速度。

5、函数的渐近增长

给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n) 总是比g(n)大，那么我们就说f(n)的增长渐近快于g(n)

通过对比多个算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本可以分析出：某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或着越来越差于另一算法

函数的渐近增长是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

6、算法时间复杂度

• 定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

大写O()来体现算法时间复杂度，记为大O记法

• 推导大O阶方法
  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
  2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
  4. 得到的结果就是大O阶。
• 常数阶

根据大O阶推导，时间复杂度为O(1)

• 线性阶

根据大O阶推导，时间复杂度为O(n)

• 对数阶

根据大O阶推导，时间复杂度为O(logn)

• 平方阶

根据大O阶推导，时间复杂度为O(n2)

• 立方阶

根据大O阶推导，时间复杂度为O(n3)

7、常见的时间复杂度

时间复杂度由小到大：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n**2**) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

8、最坏情况

最坏情况运行时间是一种保证。

9、平均情况

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

10、算法空间复杂度

通过计算算法所需的存储空间来实现
计算公式：S(n)=O(f(n))

n是问题规模，f(n)是n所占存储空间的函数