题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

  • 2 <= n <= 1000

解题思路

与上一题不同的是，本题目涉及 “大数越界情况下的求余问题” 。所以本题是在上一题的考点上再增加了大数越界求余的问题。

那么，对于大数求余问题，可以给出两种方案：

1、循环求余

这里先给出一个函数实现：求 x 的 y 次方取模 p

  1. /**
  2.  * 循环求余
  3.  * 求 x 的 y 次方取模 p
  4.  */
  5. public long rem(int x, int y, int p) {
  6.     // 用来存储结果
  7.     long result = 1;
  9.     // 因为求 x 的 y 次方，所以循环 y 次
  10.     for (int i = 0; i < y; i++) {
  11.         // 相乘
  12.         result *= x;
  13.         // 取模
  14.         result %= p;
  15.     }
  17.     return result;
  18. }

2、快速幂求余

这里也给出一个函数实现：求 x 的 y 次方取模 p

  1. /**
  2.  * 快速幂求余
  3.  * 求 x 的 y 次方取模 p
  4.  */
  5. public long rem(int x, int y, int p) {
  6.     long rem = 1, factor = x;
  8.     for (int a = y; a > 0; a /= 2) {
  9.         if (a % 2 == 1) {
  10.             rem = (rem * factor) % p;
  11.         }
  12.         factor = (factor * factor) % p;
  13.     }
  15.     return rem;
  16. }

实现

1、循环求余

  1. class Solution {
  2.     public int cuttingRope(int n) {
  3.         if (n <= 3) {
  4.             // 当 n ≤ 3 时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 m > 1 段，因此必须剪出一段长度为 1 的绳子，即返回 n - 1
  5.             return n - 1;
  6.         }
  8.         // 当 n > 3 时，求 n 除以 3 的 整数部分 a 和 余数部分 b （即 n = 3a + b ），并分为三种情况讨论
  9.         int a = n / 3, b = n % 3;
  11.         if (b == 0) {
  12.             // 当 b = 0 时，直接返回 3^a
  13. //            return (int) Math.pow(3, a);
  14.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 3 % 1000000007);
  15.         }
  16.         if (b == 1) {
  17.             // 当 b = 1 时，要将一个 1 + 3 转换为 2 + 2，因此返回 3^{a-1} * 4
  18. //            return (int) Math.pow(3, a - 1) * 4;
  19.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 4 % 1000000007);
  20.         }
  21.         if (b == 2) {
  22. //             当 b = 2 时，返回 3^a * 2
  23. //            return (int) Math.pow(3, a) * 2;
  24.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 6 % 1000000007);
  25.         }
  27.         return -1;
  28.     }
  30.     /**
  31.      * 循环求余
  32.      * 求 x 的 y 次方取模 p
  33.      */
  34.     public long rem(int x, int y, int p) {
  35.         // 用来存储结果
  36.         long result = 1;
  38.         // 因为求 x 的 y 次方，所以循环 y 次
  39.         for (int i = 0; i < y; i++) {
  40.             // 相乘
  41.             result *= x;
  42.             // 取模
  43.             result %= p;
  44.         }
  46.         return result;
  47.     }
  49. }

2、快速幂求余

  1. class Solution {
  2.     public int cuttingRope(int n) {
  3.         if (n <= 3) {
  4.             // 当 n ≤ 3 时，按照规则应不切分，但由于题目要求必须剪成 m > 1 段，因此必须剪出一段长度为 1 的绳子，即返回 n - 1
  5.             return n - 1;
  6.         }
  8.         // 当 n > 3 时，求 n 除以 3 的 整数部分 a 和 余数部分 b （即 n = 3a + b ），并分为三种情况讨论
  9.         int a = n / 3, b = n % 3;
  11.         if (b == 0) {
  12.             // 当 b = 0 时，直接返回 3^a
  13. //            return (int) Math.pow(3, a);
  14.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 3 % 1000000007);
  15.         }
  16.         if (b == 1) {
  17.             // 当 b = 1 时，要将一个 1 + 3 转换为 2 + 2，因此返回 3^{a-1} * 4
  18. //            return (int) Math.pow(3, a - 1) * 4;
  19.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 4 % 1000000007);
  20.         }
  21.         if (b == 2) {
  22. //             当 b = 2 时，返回 3^a * 2
  23. //            return (int) Math.pow(3, a) * 2;
  24.             return (int) (rem(3, a - 1, 1000000007) * 6 % 1000000007);
  25.         }
  27.         return -1;
  28.     }
  30.     /**
  31.      * 快速幂求余
  32.      * 求 x 的 y 次方取模 p
  33.      */
  34.     public long rem(int x, int y, int p) {
  35.         long rem = 1, factor = x;
  37.         for (int a = y; a > 0; a /= 2) {
  38.             if (a % 2 == 1) {
  39.                 rem = (rem * factor) % p;
  40.             }
  41.             factor = (factor * factor) % p;
  42.         }
  44.         return rem;
  45.     }
  46. }