堆

定义

堆是一个完全二叉树；
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。

其中第 1 个和第 2 个是大顶堆，第 3 个是小顶堆，第 4 个不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

堆的存储

数组中下标为 i 的节点：

• 左子节点就是下标为 i∗2 的节点
• 右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点
• 父节点就是下标为 i/2 的节点

堆化heapify

堆化：插入，删除元素后，调整元素位置，让树维持堆的特性的过程。

堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

插入元素

以插入22为例：

向上堆化，比22小就交换，直到不满足条件位置。

code:

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数
  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }
  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

删除堆顶元素

数组空洞

向上补充元素会导致数组空洞

自下而上的堆化

改变一下思路，就可以解决这个问题。把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。

code：

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}
private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

插入删除的时间复杂度

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

堆排序

建堆

排序

//todo

堆排序相比快排的缺点

堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。

对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。