线性映射

1. 是两个向量空间， 是 的子空间， 是 的线性映射，求证 经过线性映射 之后的所对应的集合 是 的子空间。

证明：
设 ，即
加法封闭：，所以
标量乘法封闭：，所以
加法单位元：设 是 的加法单位元，则

所以 是 的加法单位元
所以 是 的子空间

1. 是两个向量空间， 是 上的线性映射，已知 的一组基是 ，什么情况下 是 的一组基。

证明：
当且仅当 是同构的时候， 是 的一组基。
必要性： 是 的一组基

所以 是单且满的， 是同构

充分性：
是 的一组基， 线性无关，
即 当且仅当
是单的，所以 ，
所以当且仅当 ，
所以 线性无关

是满的，所以 ，所以 张成
所以 是 的一组基