对偶空间

对偶空间是将 上所有的线性映射都放到一起组成的集合。也就是 ，记作

， 张成向量空间 ， 中应该也有对应的基

那么 应该可以张成 中的所有向量。

:::warning 上面这个映射要怎么张成？
首先需要看这个映射是不是线性映射
，所以并不是线性的。 :::

原空间

对偶空间是蕴含对称性的，也就是说一个向量空间的对偶空间的对偶空间应该是它自身。

但是对偶空间中的元素是线性泛函，而向量空间中的元素不一定是映射或函数。这时候需要为向量空间构造一个同构的向量空间

这样就将 转化为了一个线性泛函。为了显出 与 的同等地位，常记

对偶空间中，包含的是线性泛函，假设线性空间 的维数 ，那么它的线性泛函可以写成 的矩阵，而每个线性空间的向量也可以用 的矩阵来表示，那么可以构建出对偶空间与其原空间之间一一对应的映射，所以对偶空间与其原空间就是同构的。

对偶映射

既然向量空间存在对偶，那么线性映射也可以存在对偶，先假设一个线性映射 ，思考如何构建一个线性映射的对偶映射。

最简单的思路是使用 作为 的对偶映射，但是如果将 写作 ，那 ，这两个矩阵并不符合我们上面提到的向量的转置的特点。

如果将对偶空间思考进来，构造线性映射 ，这是一个 的线性映射，这里可以将原线性映射很轻松的加入进来，整个线性映射变成这样 ，使用函数进行表示也就是

零化子

线性映射的零空间中包含的是经过映射消失的信息，值域中是经过映射保留下来的信息。
那么线性映射的对偶空间的零空间中就应该是 中多包含的信息，值域中是 中能够转换的信息。

有没有一种更简单的方法将 转化为 ，这就是零化子
对于 ， 的零化子（记为 ）定义如下：

也就是 的零化子是 中没有的信息，两个向量如何相乘才能得 0，也就是一个有的另一个必为 0 就可以了。 的零化子包含了 之外的所有信息，也就是说 ，同理 。

但是到了这里之后有一些东西变得不一样了，除了上面两个关于维度的公式，我们还有

将这四个式子结合，又能写出下面这两个公式，这两个公式又有什么具体意义？

首先是 可以理解为 比 多出来的信息，然后加上 中的信息，但是这里需要注意的是，这里的 只是代指信息的数量，而并不是实际的信息。而 就比较好理解了，就是将双方可逆的部分转换了一下。

矩阵的秩

设 是元素属于 的 矩阵

• 的行秩是 的诸行在 中的张成空间的维数
• 的列秩是 的诸列在 中的张成空间的维数

的行秩一定小于 ，列秩一定小于

的每一列代表向量空间 中的基映射到 中对应的向量，很容易就能够理解这些向量的张成空间就是 。
中的每一行，如果使用对偶映射来考虑，就是向量空间 中的基映射到 中对应的向量，也就是 。

所以这里会惊奇的发现，行秩等于列秩，那么这两个概念也就没有区分的必要了，直接定义矩阵的秩就可以了。