复变函数

定义

对于在 平面上点的一个几何 ，如果已经指明一个规则，按照这个规则， 的每一个点 都有一个确定的点，或一些确定的点 的综合与它对应，那么我们就说，在点集 上已经给定了一个函数

连续

设函数 在点 的某一个临域内（但点 本身可能除外）有定义并且是单值的，如果两个极限

都存在，那么我们说，当 时，函数 的极限存在

如果函数 定义在 的某一个临域内（包括点 自己），并且

函数 就称为在点 处连续

如果函数 在一个区域 的每一个点都连续，那么 就称为在区域 内连续。

如果函数 在区域 内连续，并且做出一个把这区域映到 平面内某一集合 上去的单叶映射（或一一对应的映射），那么 也必定是一个区域，而且反函数 在 内连续。

可微

设函数 定义在点 的某一个邻域内。如果极限

存在，那么我们就说 在点 处是可微的，把这个极限叫做函数 在点 处的导数。

柯西 - 黎曼条件：设函数 定义在点 的某一个邻域内，而且 与 这连个函数在点 %22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-7A%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20transform%3D%22scale(0.707)%22%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-30%22%20x%3D%22658%22%20y%3D%22-213%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=z&id=zvEgS) 处是可微的。于是，复变函数 在点 %22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-7A%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20transform%3D%22scale(0.707)%22%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-30%22%20x%3D%22658%22%20y%3D%22-213%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=z&id=kloNH) 处是可微的的充分必要条件是，在这个点处

这两个等式成立。

思路：
1）必要性：
从平行于实轴的直线趋于 ，
从平行于虚轴的直线趋于 ，
所以 ，即
2）充分性：
与 这连个函数在点 %22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-7A%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20transform%3D%22scale(0.707)%22%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-30%22%20x%3D%22658%22%20y%3D%22-213%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=z&id=HvvZ6) 处是可微的，所以

其中 随 一起趋于零，所以

在一个区域 的每一个点处都可微的函数 ，叫做在这个区域内的解析函数（也叫做正规函数或全纯函数）。