初等函数

指数函数

证明： 存在
函数

由此得出欧拉公式
由欧拉公式可得，每一个 ,

复平面下的直线 ，经过指数函数映射 ，在极坐标中，就是长度为 ，角度为 的射线。

从 一直增大的方向来看，每经过 的距离，经过指数函数映射之后就会旋转一周，所以研究 ，就等于研究了整个 平面。

直线 ，经过映射变成 ，同样用极坐标理解，就是半径为 的圆。随着 的增大，圆的半径也会逐渐增大。

对数函数

对数函数仍然是指数函数的反函数

将 使用极坐标进行表示 ，那么

幂函数

与

令 那么该函数可变为

幂函数的几何解释是将 放大 倍，并且旋转 ，要映射 在一个区域 内是单叶映射，其充分不必要条件是，在 种不含有任何两个具有如下关系的