特征值

矩阵的特征值来自于一阶不变子空间，也就是说，这个子空间中的信息不会受矩阵对应的线性变换的影响？
考虑零映射，将向量空间中的所有向量映射到零向量，零向量肯定数据这个向量空间，那每个向量空间都是零映射的不变子空间。继续研究零映射就不是很重要了，它的本征值就是 。进一步说，只要 ，那么 的本征值一定有 。

一个线性映射可能有很多本征值，首先看 的一阶不变子空间的本征值

不变子空间的定义是
设 ，称 的子空间 在 下不变，如果 。
也就是经过线性变换，这个标量仍然属于这个子空间。

1. 一阶不变子空间 本征值

如果这个向量空间是一维的，那它的每一个向量都可以用 来表示，也就是

1. 本征值 一阶不变子空间

，则 为一阶不变子空间

这样我们证明了存在一阶不变子空间与存在本征值等价，那能不能说明一个不变子空间只对应一个本征值呢？
假设还有另一个本征值 ，使得 ，因为每个线性映射必是函数，也就是不允许一对多的映射，，即 。

另一方面，一个特征值是不是也对应着唯一的一阶不变子空间，也就是 相同，对应的不变子空间会不会不同，这个是可能的，比如下面这个线性变换，在二维的笛卡尔坐标系下，选取放大 2 倍这个算子，对于 和 他们的特征值都是 2。所以一个特征值可能会对应多个一阶不变子空间，但是一个一阶不变子空间一定对应着一个特征值，可以说一阶不变子空间到特征值的映射是满的，但不一定是单的。

的对偶映射 的一个一阶不变子空间还是 ，也就是说它的对偶映射的特征值不变。

即 。所以 和 的特征值可以说是相同的。

对于一个算子有多少个一阶不变子空间，最多就有多少个特征值。这里有两种情况，特征值与一阶不变子空间是一一对应的，和特征值与一阶不变子空间不是一一对应的。
第一种的话就是一阶不变子空间有多少个，特征值就有多少个。第二种一个特征值可能对应多个一阶不变子空间，两个特征值相等的一阶不变子空间可以组合出一个二阶不变子空间，这个子空间的所有子空间的特征值都是一样的，所以这里就是无数个一阶不变子空间对应着有限的特征值。