wedge

前面我们已经讲了体元是如何诞生的，现在我们应该正式给出Wedge$\wedge$运算的定义。一般地，对于任意3个向量$u,v,w\in\mathbb{R}^n$，以及两个实数$a,b \in \mathbb{R}$，我们有：

• 自反率：$u\wedge v = -v\wedge u$
• 结合律：$(u\wedge v) \wedge w = u \wedge(v\wedge w)$
• 分配律：$u\wedge (v + w) = u\wedge v + u\wedge w$
• 数乘分配律：$(au)\wedge (bv) = ab(u\wedge v)$

事实上，上面的公式定义了任意维度向量空间的wedge算子。现在我们暂且不谈一个完整的正式定义，更重要的是要记住为什么要这样定义这个算符。换句话说，我们定义这些算符是为了让“体元”具有哪些运算特性？如果我们能想清楚它的几何意义，那么这些规则会自然产生。（反之，如果你没想清楚这些公式背后的几何意义，你会一生都陷入困惑当中）。

参考一些具体的例子（例如，在你的课后习题中）也应该有助于建立一些关于k向量“wedge”的直觉。稍后，我们将在一个稍微不同的向量空间中重新讨论“wedge”：我们将考虑整个向量场，而不是$\mathbb{R}^n$中的单个向量，从而产生微分形式的概念。