外微分概要
微分几何中的许多重要概念都可以用外微分的语言很好地表达出来。最初,这些概念看起来和向量演算中你所知道和喜欢的对象一模一样,你可能会质疑给它们取新名字的价值。例如,标量不再称为标量,而称为0形式!从长远来看,我们将看到,这种新的语言可以很容易地从向量演算中概括某些思想——比如斯托克斯定理,它反过来又与离散化密切相关,最终与计算密切相关。
外微分的内容可以分成几部分:
- 线性代数:小箭头。如果你学过线性代数,你或许会记得,这门课就是对一些“小箭头”进行操作,这些小箭头就是向量。事实上,如果你还记得关于向量的那些知识,那么你现在可以复习一下这部分内容,我们不打算在这里展开讨论。
- 向量微积分:这些微小向量是如何改变的?同样,如果你曾经学习过向量微积分,那么你肯定知道,这些知识与“小箭头”如何随空间和时间变化有关(比如方向改变的快慢)。换句话说,向量微积分告诉我们如何对向量进行微分。我们也不会在这里展开讨论。
- 外代数:微小体元。线性代数探索了向量可以做的一系列事情:比如向量加减法,对向量进行缩放,可以取内积和外积,等等。外代数只在这些操作中加入了一些别的操作,使得讨论面积、体积等问题变得容易。特别这些操作让我们建立了称为k向量的东西,可以将它视作”微小k维体元”。
- 外微分:这些微小体元如何改变?所以,向量微积分研究“微小箭头”随着时间空间的改变,外微分研究微小体元随着时间空间的改变。总之,外微分告诉我们如何对k向量进行微分。
总结一下:外微分之于外代数正如向量微积分之于线性代数。微小体元是很有意义的,因为它帮助我们从更广泛的意义上来讨论微积分。这两句话听起来有点令人疑惑,让我徐徐道来。