关于算子半群的最后一篇内容,讲述Hille-Yosida定理的证明,以及Stone定理的证明.这两个定理作为算子半群理论的基石存在.

Hille-Yosida定理

本文的主要参考书目为张恭庆的泛函分析讲义下.

叙述

定理有两个叙述,分别为压缩半群的版本和一般强连续算子半群的版本. 符号的记法与之前的强连续线性算子半群的定义与无穷小生成元相同.

压缩半群 为了一个线性稠定闭算子是一个压缩半群的生成元,必须且仅需以下两条成立

• %20%5Csubset%20%5Crho(A)#card=math&code=%280%2C%5Cinfty%29%20%5Csubset%20%5Crho%28A%29&height=20&width=102);
• %5C%7C%20%5Cleq%201%2F%5Clambda%2C%20%5Cforall%20%5Clambda%20%3E0#card=math&code=%5C%7CR_%7B%5Clambda%7D%20%28A%29%5C%7C%20%5Cleq%201%2F%5Clambda%2C%20%5Cforall%20%5Clambda%20%3E0&height=20&width=170)

一般半群 为了一个线性稠定闭算子是一个强连续算子半群的生成元,必须且仅需以下两条成立

• 使得%20%5Csubset%20%5Crho(A)#card=math&code=%28%5Comega_0%2C%5Cinfty%29%20%5Csubset%20%5Crho%28A%29&height=20&width=112);
• 使得当时,%5E%7B-n%7D%5C%7C%20%5Cleq%20M%2F(%5Clambda-%5Comega)%5En%2C#card=math&code=%5C%7C%28%5Clambda-A%29%5E%7B-n%7D%5C%7C%20%5Cleq%20M%2F%28%5Clambda-%5Comega%29%5En%2C&height=21&width=206)

意义

上述的定理表明,当稠定闭算子满足定理的条件后,算子微分方程

%3DAx(t)%5C%5C%0A%26x(0)%3Dx_0%20%5Cin%20D(A)%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A#card=math&code=%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%20x%28t%29%3DAx%28t%29%5C%5C%0A%26x%280%29%3Dx_0%20%5Cin%20D%28A%29%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A&height=61&width=151)

有解%3DT(t)x0#card=math&code=x%28t%29%3DT%28t%29x_0&height=20&width=99). 事实上,可以证明在函数空间)%20%5Ccap%20C%5E1(%5Cmathbb%7BR%7D%7B%2B%7D%3BX)#card=math&code=C%28%5Cmathbb%7BR%7D%7B%2B%7D%3BD%28A%29%29%20%5Ccap%20C%5E1%28%5Cmathbb%7BR%7D_%7B%2B%7D%3BX%29&height=23&width=193)中,方程的解是唯一的.

证明

叙述的证明以压缩半群为例,一般的算子半群与压缩半群的证明完全类似.

证明分为必要性和充分性,对压缩半群,是否无穷小生成元满足那两个条件.反过来,满足那两个条件,如何构造对应的压缩半群.

必要性

为了研究生成元的正则点(预解集中的点),需要想办法研究生成元的预解式.

用Laplace变换研究生成元预解式 收到常微分方程的启发,考虑积分

%20dt%20%0A#card=math&code=R_%5Clambda%20%3D%20%5Cint_0%5E%5Cinfty%20e%5E%7B-%5Clambda%20t%7D%20T%28t%29%20dt%20%0A&height=42&width=153)

这个积分就是#card=math&code=T%28t%29&height=20&width=31)的Laplace变换,形式上若%3De%5E%7BAt%7D#card=math&code=T%28t%29%3De%5E%7BAt%7D&height=23&width=76), 则就是的预解式.

事实上,只需要用定义验证,很容易知道这个结论是成立的.而且顺便得到了的结论.

充分性

构造算子半群的方法,基本上是用有界线性算子逼近, 再用有界线性算子生成的算子半群逼近所需的算子半群.

具体来说,考虑算子%5E%7B-1%7D%20-%5Clambda#card=math&code=B_%5Clambda%3D%20%5Clambda%5E2%28%5Clambda-A%29%5E%7B-1%7D%20-%5Clambda&height=23&width=164). 事实上如果只考虑#card=math&code=D%28A%29&height=20&width=39)中的情况,则这个算子可通分为%5E%7B-1%7D%20A#card=math&code=%5Clambda%28%5Clambda-A%29%5E%7B-1%7D%20A&height=23&width=95). 当时,这个算子应当强收敛到.

定义%3D%20e%5E%7BB%5Clambda%20t%7D#card=math&code=T%5Clambda%20%28t%29%3D%20e%5E%7BB_%5Clambda%20t%7D&height=23&width=90), 可以证明这列算子是强收敛的,并且每一个都是压缩半群. 于是可以定义极限#card=math&code=T%28t%29&height=20&width=31), 可以证明其为压缩半群且是它的生成元.

证明过程基本是用上面给出的Laplace变换的形式,将复杂的泛函问题转化为对积分的估计.

Stone定理

叙述

Stone定理阐述了,一个算子满足什么条件时可以成为强连续酉算子群的生成元,反过来,强连续酉算子群的生成元一定长成什么样子.

首先,强连续酉算子群是指满足三个条件的算子群

• 对每个, #card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)是上的酉算子
• %3DU(t)U(s)#card=math&code=U%28t%2Bs%29%3DU%28t%29U%28s%29&height=20&width=148)
• #card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)强连续

Remark 可以看到如果给了一个强连续算子半群#card=math&code=T%28t%29&height=20&width=31),如果它的共轭算子半群(就是#card=math&code=T%5E%2A%28t%29&height=20&width=39))是强连续的,则可以自然构成一个酉算子群.至于何时共轭算子半群依然是强连续的,有个结论说若空间是自反的Banach空间就可以.值得一提的是,共轭算子半群的生成元大致是原来半群生成元的共轭.

Remark 在可分的Banach空间中,强连续与弱可测是等价的.

Stone定理 若%3B%20t%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5C%7D#card=math&code=%5C%7BU%28t%29%3B%20t%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5C%7D&height=20&width=94)是一个弱可测酉算子群,则必有一个自伴算子,使得是它的生成元.更进一步,若有一个自伴算子, 则有一个弱可测酉算子群%3De%5E%7Bi%20tA%7D#card=math&code=U%28t%29%3De%5E%7Bi%20tA%7D&height=23&width=81)的生成元为.

上述的指数形式是算符演算给出的.用的谱分解给出的话应是

%20%3D%20%5Cint%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7Bit%5Clambda%7DdE%5Clambda%20%0A#card=math&code=U%28t%29%20%3D%20%5Cint%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20e%5E%7Bit%5Clambda%7DdE%5Clambda%20%0A&height=45&width=152)

证明

这个定理的证明是直接的,只需要用生成元的定义即可知道.

意义

在量子力学中,基本方程是薛定谔方程

%20%3D%20H%20%5Cpsi(x%2Ct)%20%20%0A#card=math&code=i%20%5Chbar%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5Cpsi%28x%2Ct%29%20%3D%20H%20%5Cpsi%28x%2Ct%29%20%20%0A&height=40&width=168)

其中是Hamilton算子,一般是无界线性算子,先假设与时间无关,定义域是的某个闭子空间.

波函数#card=math&code=%5Cpsi%28x%2Ct%29&height=20&width=47)的物理意义是在时刻, 粒子出现在点处的概率密度,由概率守恒可知道%20%7C%20%5E2%20dx%3D1#card=math&code=%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%7D%20%7C%20%5Cpsi%28x%2Ct%29%20%7C%20%5E2%20dx%3D1&height=41&width=141).

考虑传播子#card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32), 定义为初始时刻的波函数#card=math&code=%5Cpsi%280%2Ct%29&height=20&width=45)到时刻波函数#card=math&code=%5Cpsi%28x%2Ct%29&height=20&width=47)的变换.于是由物理过程的时不变性, %3DU(t)U(s)#card=math&code=U%28t%2Bs%29%3DU%28t%29U%28s%29&height=20&width=148), 并且由概率守恒可以知道#card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)是个保范算子,于是可以得到#card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)应当是个酉算子群.而且物理过程可以要求#card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)是弱可测的.

于是由上述的Stone定理,可以知道必然是自伴算子,并且#card=math&code=U%28t%29&height=20&width=32)的具体形式也可以写出来.事实上有

%20%3D%20U(t)%5Cpsi(x%2C0)%20%3D%20e%5E%7B-i%20Ht%20%2F%5Chbar%7D%20%5Cpsi(x%2C0)%0A#card=math&code=%5Cpsi%28x%2Ct%29%20%3D%20U%28t%29%5Cpsi%28x%2C0%29%20%3D%20e%5E%7B-i%20Ht%20%2F%5Chbar%7D%20%5Cpsi%28x%2C0%29%0A&height=24&width=273)

于是我们给出了薛定谔方程的解,而且还断定算子必须要是自伴算子.相较于原来的方程,显然给出了更多有意义的信息.