梯度 切向 法向

设函数 定义在的开集上.

切向 法向

维空间中的曲线，参数方程为 , 切向定义为某点处切线的方向，则切向为 .

当 时， 定义了一条曲线，称作等值线。设该曲线的参数方程为 , 显然，切向为 . 对方程关于 求导，并假设 , 可以得到切向为 .

当 时， 定义了一个曲面，称作等值面。那么在某点处，曲面上过改点的线在该点处的切线将组成一个平面，被称为曲面在该点处的切平面，方程为 。该平面的法向定义为曲面在该点的法向, 为 .

推导参看数学分析 下 陈记修 p135

梯度

梯度 是一个向量.

时, 定义了一条曲线, 那么点 处， 梯度方向就是曲线的切向，且与法平面垂直。

事实上，注意到曲线的切向为 ， 对方程关于 求导， 得到 .

时， 定义了一个曲面， 那么点 处，梯度方向就是曲面在该点处切平面的法向, 垂直于该点的切平面。

二维极坐标的梯度

可以参考 wiki: Del in cylindrical and spherical coordinates, 得到在不同坐标系下，常见的向量运算的表达式，比如梯度或者Laplace算子的表达式等等。

具体到梯度来说，表达式为 , 其中 为极坐标。或者可以直接用链式法则，求得