图（Graph）

基本概念

顶点（vertex）与边（edge）

图中的元素我们就叫作顶点（vertex）。从下图可以看出，图中的一个顶点可以与任意其他顶点建立连接关系。我们把这种建立的关系叫作边（edge）。

类比：类似于微信中的好友，如果两个人是好友，那么两个顶点有一条边连接

顶点的度（degree）

就是跟顶点相连接的边的条数。

有向图、无向图

把边有方向的图叫作 “有向图”。把边没有方向的图就叫作 “无向图”。

类比：微博中如果用户 A 关注了用户 B，我们就在图中画一条从 A 到 B 的带箭头的边，来表示边的方向。如果用户 A 和用户 B 互相关注了，那我们就画一条从 A 指向 B 的边，再画一条从 B 指向 A 的边。

入度、出度

有向图中，我们把度分为入度（In-degree）和出度（Out-degree）。

顶点的入度，表示有多少条边指向这个顶点；顶点的出度，表示有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点。对应到微博的例子，入度就表示有多少粉丝，出度就表示关注了多少人。

带权图（weighted graph）

类比：QQ中的亲密度

在带权图中，每条边都有一个权重（weight）

图的存储方式

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

图最直观的一种存储方法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。

邻接矩阵的底层依赖一个二维数组。

• 对于无向图来说，如果顶点 i 与顶点 j 之间有边，我们就将 A [i][j] 和 A [j][i] 标记为 1；（该矩阵是对称阵）
• 对于有向图来说，如果顶点 i 到顶点 j 之间，有一条箭头从顶点 i 指向顶点 j 的边，那我们就将 A [i][j] 标记为 1。同理，如果有一条箭头从顶点 j 指向顶点 i 的边，我们就将 A [j][i] 标记为 1。
• 对于带权图，数组中就存储相应的权重。

用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间。为什么这么说呢？

对于无向图来说，如果 A [i][j] 等于 1，那 A [j][i] 也肯定等于 1。实际上，我们只需要存储一个就可以了。也就是说，无向图的二维数组中，如果我们将其用对角线划分为上下两部分，那我们只需要利用上面或者下面这样一半的空间就足够了，另外一半白白浪费掉了。

还有，如果我们存储的是稀疏图（Sparse Matrix），也就是说，顶点很多，但每个顶点的边并不多，那邻接矩阵的存储方法就更加浪费空间了。比如微信有好几亿的用户，对应到图上就是好几亿的顶点。但是每个用户的好友并不会很多，一般也就三五百个而已。如果我们用邻接矩阵来存储，那绝大部分的存储空间都被浪费了。

但这也并不是说，邻接矩阵的存储方法就完全没有优点。首先，邻接矩阵的存储方式简单、直接，因为基于数组，所以在获取两个顶点的关系时，就非常高效。其次，用邻接矩阵存储图的另外一个好处是方便计算。这是因为，用邻接矩阵的方式存储图，可以将很多图的运算转换成矩阵之间的运算。比如求解最短路径问题时会提到一个 Floyd-Warshall 算法，就是利用矩阵循环相乘若干次得到结果。

邻接表存储方法

邻接表（Adjacency List）。

总结

邻接矩阵存储方法的缺点是比较浪费空间，但是优点是查询效率高，而且方便矩阵运算。邻接表存储方法中每个顶点都对应一个链表，存储与其相连接的其他顶点。尽管邻接表的存储方式比较节省存储空间，但链表不方便查找，所以查询效率没有邻接矩阵存储方式高。针对这个问题，邻接表还有改进升级版，即将链表换成更加高效的动态数据结构，比如平衡二叉查找树、跳表、散列表等。