剑指 Offer 10- I.斐波那契数列
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1： 输入：n = 2 输出：1

示例 2： 输入：n = 5 输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

方法

⭐️ 动态规划

斐波那契数的边界条件是 F(0)=0 和 F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：F(n) = F(n−1) + F(n−2)
由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。
根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现。由于 F(n) 只和 F(n−1) 与F(n−2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。
计算过程中，答案需要取模 1e9+7。

var fib = function(n) {
    const MOD = 1000000007;
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    let p = 0, q = 0, r = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        p = q; 
        q = r; 
        r = (p + q) % MOD;
    }
    return r;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

矩阵快速幂

方法一的时间复杂度是 O(n)O(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。
首先我们可以构建这样一个递推关系：

因此

另

因此只要我们能快速计算矩阵 M 的 n 次幂，就可以得到F(n) 的值。如果直接求取Mn
，时间复杂度是 O(n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里 Mn的求取。计算过程中，答案需要取模 1e9+7。

var fib = function(n) {
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    const q = [[1, 1], [1, 0]];
    const res = pow(q, n - 1);
    return res[0][0];
};
const pow = (a, n) => {
    let ret = [[1, 0], [0, 1]];
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) === 1) {
            ret = multiply(ret, a);
        }
        n >>= 1;
        a = multiply(a, a);
    }
    return ret;
}
const multiply = (a, b) => {
    const c = new Array(2).fill(0).map(() => new Array(2).fill(0));
    for (let i = 0; i < 2; i++) {
        for (let j = 0; j < 2; j++) {
            c[i][j] = (BigInt(a[i][0]) * BigInt(b[0][j]) + BigInt(a[i][1]) * BigInt(b[1][j])) % BigInt(1000000007);
        }
    }
    return c;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log⁡n)O(logn)。
• 空间复杂度：O(1)O(1)。