高数学习资料(含讲义及全部内容)(二)

第二章 导数与微分
导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。它从根本上反映了函数的变化情况，我们将陆续介绍倒数和微分的用途。

§2、1 导数的概念
一、 引例
1、 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地接近于点的极限位置。

设曲线方程为，设点的坐标为，动点的坐标为，要求出曲线在点的切线，只须求出点切线的斜率。由上知，恰好为割线的斜率的极限。我们不难求得的斜率为：；因此，当时，其极限存在的话，其值就是，即。
若设为切线的倾角，则有。

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为（表示时刻），又设当为时刻时，位置在处，问：质点在时刻的瞬时速度是多少？
为此，可取近邻的时刻，，也可取，在由到这一段时间内，质点的平均速度为,显然当与越近，用代替的瞬时速度的效果越佳，特别地，当时，某常值，那么必为点的瞬时速度，此时，


3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在上的质量是的函数，那么在处的线密度为




二、 导数的定义
综合上几个问题，它们均归纳为这一极限（其中为自变量在的增量，为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。

定义：设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量，若增量比极限：即存在，就称其值为在点的导数，记为，，或。
即等等，这时，也称在点可导或有导数，导数存在。

注 1：导数的常见形式还有：；
；
；
2：反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度。
3：这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母，待到后面再讨论。
4：若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线。

若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对，均有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，，等。
事实上， 或

注 5：上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量。但在导函数中，是变量。
6：在的导数就是导函数在点的值，不要认为是；
7：为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数。

【例1】 设，证明欲，那么。
证明：因为
所以。
【例2】 若在点可导，问：？
解：
。
反过来，亦证明：。

三、 求导数举例
【例3】 求函数（为常数）的导数。
解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于自变量的增量，有 ，即。

注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。

【例4】 求（为正整数）在点的导数。
解：即，
亦即，若将视为任一点，并用代换，即得

注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见，
, 。

【例5】 求在点的导数。
解： ,即
同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。

注：同理可证：。

【例6】 求的导数。
解：

所以。

注：特别地，。

【例7】 求的导数。
解：
。

注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导；
2：一般地说，求导有四步：
一、给出；
二、算出；
三、求增量比；
四、求极限。
3、。

【例8】 讨论在处的导数。
解：考虑，由§1.4例4知不存在，故在点不可导。
然而，及，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若，即[即
]存在，就称其值为在点的右（左）导数，并记为，即
[]。

定理1：在点可导在点的左导数和右导数均存在，且相等，即
。

注1：[例8]的左导数为-1，右导数为1。因为，所以在点不可导；
2：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导；
3：左、右导数统称为单侧导数；
4：若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，就称在上可导。
四、 导数的几何意义
由前面的讨论知：：函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率，即，或为切线的倾角。从而，得切线方程为。若，或 切线方程为：。过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：。
如果=0，法线方程为。

【例9】 求曲线在点处的切线与法线方程。
解：由于，所以在处的切线方程为：

当时，法线方程为：
当时，法线方程为： 。

五、 函数的可导性与连续性之间的关系
定理2：如果函数在点可导，那么在该点必连续。
证明：由条件知：是存在的，其中，
由§1、5定理1(i) （为无穷小）
显然当时，有，所以由§1、9定义1＂，即得函数在点连续，证毕。

注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。
反例：在点连续，但不可导。
【例10】 求常数使得在点可导。
解：若使在点可导，必使之连续，故
。
又若使在点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且


所以若有，则，此时在点可导，所以所求常数为
。


§2、2 函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且
。
证明：
==
所以。

注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。
2：本定理的结论也常简记为。

定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。
证明：
=
=
=
=
即 。

注 1：若取为常数，则有：；
2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：

等。

定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且。
证明：
=
=
=
即

注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；
2：本公式简化为；
3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。

【例1】 设，求。
解：
。
【例2】 设，求。
解：

。
【例3】


§2.3 反函数的导数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数
定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。
证明：

所以 。

注1：，因为在点附近连续，严格单调；
2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；
3：和的“′”均表示求导，但意义不同；
4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；
5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】 求的导数，
解：由于，是的反函数，由定理1得：
。

注1：同理可证：；
2：。

【例2】 求的导数。
解：利用指数函数的导数，自己做。

二复合函数的求导公式
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或
证明：
==
所以。

注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数：
，或
或。
2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：
等。

【例3】 求的导数。
解：可看成与复合而成，
，， 。

【例4】 求（为常数）的导数。
解：是，复合而成的。

所以。
这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】，求。
解：。

【例6】，求。
解：
。

【例7】，求。
解：
=
=。

【例8】，求。
解：


。

【例9】
，
即。同理，。

【例10】，求。
解：

。
同理： 。


§2、4 初等函数的求导公式
1、常数和基本初等函数的求导公式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）


（13） （14）
（15） （16）
（17） （18）
（19）
（20）
（21）
（22）

2、函数的四则运算的求导法则：
设，则
(i) (ii)
(iii) (iv)

3、复合函数的求导法则：
设的导数为： 或
或

§ 2.5 高阶导数
前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导。

注1：若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数；
2：仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；
3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：，，或与或；
4：开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或；
5：未必任何函数所有高阶都存在；
6：由定义不难知道，对，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。

【例1】，求。
解：。
【例2】，求各阶导数。
解：，，，，显然易见，对任何，有，
即。

【例3】，求各阶导数。
解：



……
一般地，有，即 。
同样可求得 。

【例4】，求各阶导数。
解：，，，，
，……
一般地，有
即 。

【例5】，为任意常数，求各阶导数。
解：，，，
，
一般地，
即 。
(i) 当为正整数时，
a)时，；
时，；
时，；
(ii)当为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在。
如：然而，在处是无意义，即说明
在处无导数，或在处不存在。

【例6】，求。
解： ，
，
。

注：高阶导数有如下运算法则：
(1)，
(2)，
……，

+。其中。 Leibinz公式

【例7】上例中，求。
解：

=
=
=
=。
【例8】验证满足关系式：（其中为任意常数）。
解：
所以。

【例9】验证满足关系式：。
解：
又
所以。

§2、6 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：等等，象这样一类的函数称为显函数。
但在实际问题中，函数并不全是如此，设是定义在区域上的二元函数，若存在一个区域，对于中的每一个的值，恒有区间上唯一的一个值，使之与一起满足方程： ……（1）
就称方程（1）确定了一个定义域为，值域含于中的函数，这个函数就称为由方程（1）所确定的隐函数，若将它记为，则有：在上，。

【例1】确定了隐函数：。
【例2】能确定出定义在上的函数值不小于0的隐函数，也能确定出定义在上的函数值不大于0的隐函数。

上面求的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。

注 1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；
2：并不是任一方程（1）都能确定出隐函数，比如：，不可能找到，使得；
3：即使方程（1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出，如：，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成的形式，即不能显化。

实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出其隐函数的导数。（以后我们还将介绍更一般的方法）。

【例3】，求。
解：在方程的两边同时对求导，得
。