学习目标

通过学习，掌握阵列天线综合基础理论，了解一维线阵以及简单的二维面阵单元数目、单元间距、单元幅相分布设置等参数设计的底层理论基础。

参考资料

天线（第三版）约翰克劳斯中文.pdf
天线工程手册（聂在平）.pdf
基于有源单元方向图方法的阵列天线综合_张成.pdf
阵列天线综合方法研究_杨林.pdf

工具使用

PCAAD6Manual.pdf

波参数关系说明

频率f，角频率，波长lamda，传播速度，波阻抗，波矢

说在前面

文章《萌新笔记-天线（原理篇）》介绍了天线分析的基础理论、常用工程参数以及常见天线的辐射特性分析，但是没有针对阵列天线进行详细分析。最近在开展相控阵+载体的一体化仿真研究，其中相控阵的实现通过依托Matlab-FEKO-API，其中就涉及到相控阵单元间距、馈电幅度/相位、波束扫描等参数的设计问题，籍此对阵列天线的分析和综合基础进行了系统学习。

阵列天线的学习主要依托王建的《阵列天线分析和综合讲义》、薛正辉的《阵列天线分析和综合》以及诺僧罗普-格鲁曼天线工程师布朗的《电扫阵列——MATLAB建模与仿真》三本教材：

这三本教材分直线阵列和平面阵列两大类详细的介绍了阵列天线分析的理论基础以及常用的综合方法。需要更进一步了解阵列天线理论与设计方法的读者可以依托这两本教材进行深入研读，文末附上教材电子版（仅供学习交流）。

本文将分三部分内容对阵列天线进行展开：

1. 底层认知：围绕阵列天线是什么、为什么需要阵列天线以及如何实现进行简要的阐述；
2. 理论基础：分为直线阵列和平面阵列两大类，详细阐述阵列天线分析理论基础以及主要的综合方法；
3. 学术前沿：针对一些最新的硕、博论文，简单介绍阵列天线的最新研究方向；
4. 仿真实践：针对阵列天线的相关应用场景，基于仿真软件HFSS、FEKO，介绍阵列天线几种实现方法。

底层认知

围绕阵列天线是什么、为什么、如何实现进行简要阐述。

”干涉“和”衍射“是区别”波“和”粒子“的两个基本特征，电磁波作为”波“的一种，自然也具备”干涉“和”衍射“现象。其中，所谓”波的干涉“，即具有相同工作频率的两个或多个波源所产生的波像空间传输的过程中，会发生叠加的现象，从而形成”波峰“和”波谷“交替出现的现象（图片来自网络）。

阵列天线的辐射机理就是大量天线单元辐射的电磁波产生了”干涉“现象，不同天线阵元辐射的电磁波，同相叠加时，产生波瓣，在反相相消的地方，形成零点。

理论基础

直线阵列分析与综合

直线阵列分析

阵列天线性能主要取决于四个参数：

1. 单元总数：如直线阵的N，平面阵的M*N；
2. 单元空间分布(周期)：如直线阵的d，平面阵的dx和dy；
3. 单元激励幅度分布：如直线阵的，平面阵的 ;
4. 单元激励相位分布：如直线阵的 ，平面阵的。

• 电流源的辐射场

正如在文章《萌新笔记—天线（原理篇）》一文中所介绍的，空间中的电/磁场可以通过辐射体上面的电流分布可以求得，一般有两种方法：1）直接法：直接利用格林函数机进行计算，2）间接法：使用“位函数”进行过渡，先通过辐射体表面电流分布建立“位函数”的表达式，再利用“位函数”计算电磁场分布。

电场分布与磁失位和电标位之间的关系为：

带入maxwell方程组，即可建立“A”和“”满足的波动方程：

可知，中间变量满足的波动方程的形式要比“E”和“H”满足的波动方程的形式简单很多，由《电磁CAE设计师的你，有必要了解计算电磁学吗？》文章可知，该方程的解可以借助“格林函数”快速求出：

求出中间变量的空间分布后，利用“E”、“H”与中间变量的关系，即可求解出空间中电磁场的分布。远场区：，为小量，近似省略，因此有：

矢量位与“Z轴”平行，远场区电场只有“”方向分量（电场远区封闭，“r”方向分量趋于0）：

则有：

其中表示源点的坐标，R表示源点与场地之间的间距：，带入电场表达式，可得：

以等幅激励的均匀直线阵列为例，介绍阵列天线的阵因子、波束指向、增益、波束宽度、副瓣电平等主要参数。

• 阵因子方向图

任意形式单元天线的远区辐射场可以统一表示为一下形式：

其中表示每个天线单元的馈电（幅度和相位），表示由于天线电流的分布导致远场分布的方向性，即单元方向图，而则是“格林函数”项，表示理想点源的远场分布形式。三部分共同框定了天线单元对远场辐射总场的贡献。

阵列的辐射总场可以简单的表示为各天线单元辐射场的叠加，即为：

其中为第n个单元源点与场点的距离：为波程差，即第n个单元源-场距离与原点-场点距离之差，带入化简可得：

天线单元的馈电部分可以表示为“复数”形式，即为：，则总场可以化简为：

其中，为阵因子，表示天线单元的组阵给远场方向图带来的二次赋形。至此，直线阵列天线的远场方向图就算完成了求解，其结构组成也非常清晰，由三部分组成：1）第一项为“格林函数”项，表示理想点源在空间的场分布，其为各向同性的；2）因为天线单元表面电流的连续分布，使得远场方向图被“一次赋形”，“赋形因子 ”即为单元方向图；3）因为单元组阵，使得远场方向图被“二次赋形”，“赋形因子”即为阵列天线的阵因子。

单元相位递变，因此，馈电幅度，则阵因子可简化为：

接下来将重点研究因为单元组阵而引起的“二次赋形”，即阵因子。对于均匀直线阵，，利用欧拉公式，阵因子可以化简为（利用matlab表示求和形式与简化公式等值）：

其中。

• 波束指向

当时，利用无穷小理论，取最大值，为方向图的主瓣方向，主瓣指向可以利用进行确定：

当所有单元相位一致时，即，则，波束未扫描；当各单元相位均匀递变时，则波束指向则随着的变化而进行变化，即为相控扫描（利用matlab动态展示波束扫描过程）。

% matlab绘制动态波束扫描（保存GIF格式）
clc;clear all;
%%参数列表
a=0;           %相位差
N=10;           %阵元数目
c=3e9;          %光速
freq=10e9;      %工作频率
lambda=c/freq;  %波长
d=0.5*lambda;   %阵元间距
k=2*pi/lambda;  %波矢
%%
x=0:1:180;
figure(1);
set(gcf,'position',[0,0,800,600],'color','w');
for i=1:47
    str_title = strcat('\color{red}a=',num2str(a));
    y=abs((sin(N.*(k.*d.*cos(x.*pi./180)+a.*pi./180)/2))./sin((k.*d.*cos(x.*pi./180)+a.*pi./180)/2));%方向图函数
    a=(i-1)*360/120;  %相位差扫描范围
    figure(i);
    set(gcf,'position',[0,0,800,600],'color','w');
    p1 = polarplot(x.*pi./180,y,'r','LineWidth',3);
    hold on;
    title('波束扫描','fontsize',15);
    text(-0.2,2.3,str_title,'FontName','Times New Roman','FontSize',20);
    %%保存为gif格式
    frame = getframe(gcf);
    im = frame2im(frame);
    [I,map] = rgb2ind(im,256);
    if i==1
        imwrite(I,map,'波束扫描.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.05);
    else
        imwrite(I,map,'波束扫描.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.05);
    end
    close(figure(i));
end

这就引出了相扫阵列的一个基本逻辑：
波程差=相位差

• 主瓣宽度

天线的主瓣宽度通常指方向图主瓣增益下降3dB（半功率）的所对应的波束宽度，功率下降为原来的0.5倍，则电场幅值下降为原来的0.707倍（），即有归一化阵因子:

其中，对于侧射阵（端射状态详见教材），主瓣指向，经过化简计算，可得波束宽度：

为波束扫描角。可见：1）阵列单元数目N越大，波束越窄；2）扫描角度（相对侧射状态）越大，波束越宽。

• 方向性系数D

均匀直线阵的方向性系数D可以由如下公式进行计算：

其中，可得：

则方向性系数D为：

其中为阵列长度（口径）。

• 副瓣电平

副瓣电平为天线的重要技术指标，乃至于后续天线综合的主要工作就是围绕着副瓣电平SLL的优化而开展的。其定义为最大副瓣与主瓣之比，即：

对于均匀直线阵，第一副瓣即为最大副瓣，此时，其中，带入公式，可以算的：

即均匀直线阵的副瓣电平并不是特别优秀，想要获得更低的副瓣电平，还需要进一步对阵列单元的馈电幅度进行一定的设计，这就是“阵列综合”的知识了。

• 栅瓣抑制

由上文可知，均匀阵线阵列的阵因子为：

为周期函数（周期为），即与主瓣等高的波瓣会每隔出现一次，因此要抑制栅瓣的出现，就需要对u的取值范围，即，化简可得：

此即为均匀直线阵的栅瓣抑制条件。
1）对于侧射阵：，则有;
2）当波束扫描时，按扫角计算，则取，，一般取

直线阵列综合

等幅激励直线阵的副瓣电平太高，无法满足工程上的使用要求，因此提出两种阵列综合的方法，目标是降低天线的副瓣电平。
阵列综合方式：已知方向图参数（副瓣电平等），求解阵元的电流分布（幅度+相位），最主要的的是求电流的幅度分布，相位分布依据波束指向，根据“相位差=波程差”的原则进行计算，各种综合方法的计算结果均一致。

切比雪夫综合法

切比雪夫综合法是一种等副瓣的综合方法，其特点为：

1. 等副瓣电平；
2. 在相同副瓣电平和相同阵列长度下主瓣最窄，在主瓣宽度一定的情况下旁瓣最低，为最佳阵列；
3. 单元数多（N>13）时，阵列两端单元激励幅度跳变大，使馈电困难。

• 切比雪夫多项式

切比雪夫多项式为如下二阶微分方程的解：

令
则上式可化简为：
该方程的一个解为：
；
同时，基于三角恒等式：

可得切比雪夫多项式的递推关系式：

利用递推关系式可计算得到任意阶切比雪夫函数的“多项式”表达形式：

上面为的函数形式，当时，则变成双曲余弦的形式，整合下来，切比雪夫函数的“三角函数”表达形式为：

利用matlab作图可以画出切比雪夫函数曲线如下图所示，由图可知当时，切比雪夫多项式为振幅为1的振荡曲线，当时，曲线快速上升，若将作为方向图主瓣位置，将区域作为方向图的副瓣区域，则可以实现方向图的副瓣电平SLL的调节。

clc;clear all;close all;
x=-1.1:0.001:1.1;
y=zeros(1,length(x));
for m=1:1:5
    for i=1:length(x)
    if abs(x(i))<1
        y(i)=cos(m*acos(x(i)));
    elseif abs(x(i))>=1
        y(i)=cosh(m*acosh(x(i))); 
    end
end
plot(x,y);
hold on;
end

乍一看，曲线很乱，很难将其与阵因子方向图联系起来，现在我们尝试取来进行研究（函数曲线取坐标系的正半边进行考察），通过如下的一系列变换：

1. 取的切比雪夫多项式进行研究，由图可知时，曲线在内振荡，的位置决定了的高度，曲线如图1所示；
2. 令，将曲线定义域收缩至[0，1]；
3. 对表达式取绝对值，即忽略电场方向带来的“正负”，统一考察电场幅值大小；
4. 令,会发现原本的函数曲线竟然神奇变成了我们熟悉的方向图。

由图可知：1）该方向图所有副瓣均相等（等副瓣）；2）副瓣电平始终为1，主瓣电平为，主副瓣比SLL的大小取决于最初选择的的大小，即主副瓣比可调。

• 切比雪夫综合

由上面可知，经由切比雪夫多项式，通过适当的变换，就可以得到主副瓣比可调的等副瓣方向图，下面就需要建立目标阵因子和切比雪夫函数的关系，以期实现相同的方向图分布特性。非等幅的直线阵列的的阵因子为：


设馈电幅度为对称分布，按照阵元数目的奇偶，依据欧拉公式，对称位置两两相消，阵因子可以化简为：


当均取1时（即为等幅），计算可得其SLL明显小于切比雪夫阵：

如果令：

我们就会发现阵因子中的每一项都是一个切比雪夫多项式，其中：


因此阵因子表达式即为一系列切比雪夫多项式的和：


总结下来，切比雪夫阵的设计思路为：如果希望待优化阵因子变成理想方向图，那么就需要令其等价的切比雪夫多项式之和与相应最高阶切比雪夫多项函数相等，从而求出阵列馈电幅度分布{……}。同时，通过的调节，即可实现方向图副瓣电频SLL的调节。

实际工程中，无需手动计算出切比雪夫综合的阵元分布，利用MATLAB自带的函数即可轻松完成计算。

N=16；%阵元数目
SLL=20；%副瓣电平
w = chebwin(N,SLL)；%输出阵元幅度分布

泰勒综合法

• 机理分析

当阵列单元数目较多（），切比雪夫阵列两端单元的激励幅度将发生跳变，即最末单元比其相邻单元的激励幅度大许多，不利于馈电并对方向图副瓣电平影响很大，此时需要引入泰勒综合法。

采用泰勒综合方法设计的泰勒阵列，其方向图只是靠近主瓣某个区域内的副瓣电平接近相等，随后单调减小，有利于提高天线的方向性，且激励的幅度分布的变化在阵列两端是单调减小的，不会出现两端单元激励幅度跳变的情况。

泰勒综合的参考函数起源于切比雪夫函数，令，即有：

利用MATLAB绘制其曲线如图所示，其与阵因子方向图十分相似：

当变量N趋于时，参考函数就转化为理想线源的空间阵因子：

其方向图形式为：

为等副瓣形式，通过引入基本函数波瓣展宽因子，改造基本函数，构建泰勒方向图函数：

该方向图函数的含义是：把基本函数前个零点用于改造的理想空间因子的零点取代，而第个以后的零点保持为基本函数的零点。

所构造的泰勒方向图函数既保持了理想空间因子可调副瓣电平和前个副瓣近似相等的性质，又在远副瓣（第个及以后）保持了基本函数的副瓣峰值以衰减的性质。总结下来，泰勒函数的构造过程如下图所示：

上面，我们已经构造了一个完美的方向图函数，其有着可调的副瓣电平以及递减的旁瓣，现在所要做的就是朝着这个完美的方向图函数努力前进，让待优化阵因子与其相等，从而求出阵元幅度分布即可。

连续线源的方向图
从连续线源的方向图分布聊起，假设其电流分布为：

其中展开系数为未知项，该电流分布所对应的空间阵因子的表达式为：

这就是待优化阵因子的表达式，令其等于泰勒方向图阵因子，即可求解出展开系数从而完成了连续线源电流分布的综合。

上式即为综合得到的连续线源的电流分布。对于直线阵列的各单元的馈电分布，只需要对连续电流进行抽样离散即可。


即为每个阵元的馈电幅度，其中，,
实际设计过程中，以上的综合过程无需设计师手动计算，MATLAB中内置Taylor函数，可以按照阵元数目、主副瓣比SLL和值，直接综合出相应的馈电分布。

N=64;%阵元数目
n=4;%远副瓣位置
SLL=-35；副瓣电平
w = taylorwin(N,n,SLL);
wvtool(w)

• 设计准则

根据主副瓣比选择适当的
的含义是泰勒方向图的前个零点由修改的理想空间因子决定，使前个副瓣近似相等，其应该根据主副瓣比来选择，一般可取，其中,为主副瓣比。
泰勒阵列单元数不能太少
泰勒综合的单元数目不能太少，否则按主副瓣电平比的阵列方向图副瓣电平，不能达到设计目的。

余量设计原则
在阵列天线设计中，各单元的激励分布都是理想分布。然而实际加工过程总制作出来的功分器馈电网络总是存在误差，加之单元天线之间的互耦误差等，导致实际加工出来的阵列天线的副瓣电平有所升高，因此在产品设计过程中就副瓣电平留有一些余量，一般余量取7~10dB。

平面阵列分析与综合

平面阵列分析

基于直线阵列的基本原理，依托可分离原理，重点介绍“矩形栅格”形式的平面阵列。

• 阵因子方向图

直线阵中方向图表达通式也可以被应用于平面阵列，任意形式单元天线的远区辐射场可以统一表示为一下形式：

其中表示每个天线单元的馈电（幅度和相位），表示由于天线电流的分布导致远场分布的方向性，即单元方向图，而则是“格林函数”项，表示理想点源的远场分布形式。三部分共同框定了天线单元对远场辐射总场的贡献。

其中：
，则第mn个单元的远区辐射场为：

整个平面阵的远区辐射场为：

如果平面阵按列分布为；按行的分布为，则总的馈电幅相为：

为可分离型。可分离型阵列的阵因子也是可分离型的，阵因子为：

其中：


可知，矩形栅格的矩形平面阵列，如果其馈电分布是可分离，则该平面阵列的阵因子方向图就是沿x和y方向排列的直线阵列阵因子方向图的乘积，者也是方向图相乘原理的一种体现。
同理，参照均匀直线阵，对于等幅分布的均匀平面阵，其方向图阵因子可以利用欧拉公式简化为：

即为均匀直线阵因子的乘积。

• 平面波束指向

波束扫描的核心就是：馈电相位差等于波程差：
1）当时，出现最大值，此时,为波束指向，得：

同理，当时，出现最大值，得：

联立可以解的波束指向,相反得，可以按照期望波束指向可以求得馈电相位差。

• 波束宽度

经线所在平面内的半功率波瓣宽度
当(最大指向在xz平面内)：
当(最大指向在xz平面内)：
纬线切线所在平面的半功率波瓣宽度
当(最大指向在xz平面内)：
当(最大指向在xz平面内)：
即波束沿俯仰向进行扫描时，经向所在平面的波瓣宽度会逐渐展宽，而纬线切线所在平面额波瓣宽度不变。

• 方向性系数D

方向性系数的定义为最大增益与平均增益之比，即：

此处假设阵列数目非常多，单元方向图近似单元阵因子。

对于均匀直线阵：

平面阵列综合

切比雪夫综合法

矩形栅格矩形边界的切比雪夫平面阵有两种形式，一种是可分离型分布的切比雪夫平面阵；另一种是不可分离分布的切比雪夫平面阵。
此处介绍简单且更为常用的可分离型切比雪夫平面，其设计较为简单，即沿两个主平面方向图指标（主瓣宽度、副瓣电平），分别设计沿x轴和y轴两个方向排列的直线阵即可。

泰勒综合法

阵因子:

其中：

类比于泰勒分布的“直线阵列”，圆口径泰勒分布的“目标空间阵因子”为：

同样的，使用连续面源分布去拟合：

计算出待定系数，即可得到圆口径泰勒面源分布，在经过离散就是圆口径泰勒阵列分布。
虽然理论上，圆口径泰勒分布为

单脉冲体制

通过窄波束扫描获得目标的位置和距离信息是现代雷达的主要功能，其中要以“单脉冲技术”应用最为普遍的技术体制。单脉冲雷达天线要求产生一个主瓣的和波束以及具有两个（或四个）主瓣的差波束。差波束的两个峰值之间的最小值称为“零值”。和波束的作用是探测目标的距离（r）和进行距离跟踪；差波束的作用是探测目标的方位角和俯仰角信息（,）和进行角跟踪。

一个目标的距离信息 r 和角信息, 已知， 则目标的空间位置就确定了。 如果目标正好在和波束最大值方向， 则差波束接收到的信号很弱(为零值)； 当目标移动时， 则差波束接收到的信号由弱变强， 则可利用差信号来驱动伺服机构， 使天线在俯仰或方位上转动，始终使差波束的零值方向对准目标，从而实现跟踪 。

结语

本文针对阵列天线的分析和综合的基础理论进行介绍，分为直线阵列和平面阵列，介绍了”分析“和”综合“两部分，其中”分析“表示依据确定的幅、相分布的天线的辐射特性；”综合“则根据总体提供的方向图要求（主板增益、副瓣电频等参数）来反向确定天线的幅、相分布。最终，基于FEkO仿真平台，介绍了三种阵列天线实现的方式：1）基于域格林函数（DGFM），借助软件自动实现大规模阵列天线的建模；2）基于FEKO宏类库原型实现任意形式天线单元的组阵和馈电设置；2）基于Matlab-FEKO-API技术，通过相控阵自动建模模块的开发，实现相控阵天线的建模的波束扫描设置。