为什么根号负一不是i？

为什么根号负一不是i - 李刚的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/35184138

问题引出

等于多少？可能很多人都知道，是2。

但是对一个负数开根号呢？比如 是多少？？
托很多科普文章的福，大家都知道 ，因为 。

但是。。你稍微想想，为什么不是 呢？毕竟 也是没问题的啊？
然后有人说了，初中就学过了， ，但是我们只取正的，叫算数平方根。所以对 ，我们也取正的就可以了。（当然此时你还意识不到复数不能比大小，正负也就无从谈起了。）

但是，如果不是开二次方，是开三次方呢？

是多少？是 么？为什么不是 呢？

毕竟 没问题啊。

于是，开三次根号八，居然有三个解！
函数的定义是什么？一个自变量对应唯一一个因变量？但是开三次方这个函数，居然一个自变量对应三个因变量？
到此为止，你应该以经发现了，只要你承认 ，你就不可避免地要回答一个问题， 到底是正二还是负二？开根号到底是有几个解？

看来复数，并不只是 这么简单。

复数概念

复数定义

设有一对有序实数 ，遵从
加法：
乘法：
则称这一对有序实数 定义了一个复数 ，其中 为 的实部， 为虚部。
复数减法为加法的逆运算
虚数单位
原来我们要先定义一对实数，并满足两个运算法则，然后 就是我们要的虚数单位 了。
给读者留个小作业，验证 的平方为负一。

复数运算

共轭复数： 与 互为共轭，共轭复数的乘积为实数，因为
。
复数除法：我们可以用共轭复数来记算除法

复数几何表示

既然复数是两个实数组成的一对，那我们把第一个实数画在横轴上，第二个实数画在纵轴上，于是就有了复平面

原来复数好似是复平面上的一个向量，共轭复数关于实轴对称。

复数的极坐标和指数表示

由上图，我们发现 ，于是我们把复数写成极坐标的形式

其中 为复数的模， 为复数的辐角。
大名鼎鼎的欧拉公式已上线： ，于是复数也可以写成指数形式
。
原来复数还不能完全看成是向量，因为乘法时是模相乘辐角相加，并不是向量的点乘或者叉乘。

回归问题

到底怎么算三次根号下八？

我们现在知道了，对于实数，其实是躺在实轴上的一个复数，也就是辐角 ，其指数表示法为

但，为什么不是 呢？
但，为什么不是 呢？？因为辐角0度，和360度，和720度，都是在同一个地方啊？

但是你把这三个辐角都除以3，就会产生不同的结果。
对于 ，
对于 ，
给读者留个作业，自行计算 。

多值函数

原来，在计算复数时，由于其辐角 的多值性，函数的因变量也会有不同的值。此为多值函数。开方和取对数，在复数域里，都是多值函数。

从此，函数不再是一对一的了。或者说，函数其实还是一对一的映射，但是多值函数不算是函数了。