01背包：
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
举例：
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
二维数组
dp数组定义
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
初始化
如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
代码初始化如下：
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。dp[0][j] = 0;}// 正序遍历for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
初始-1，初始-2，初始100，都可以！
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
最后初始化代码如下：
//定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值
int[][] dp = new int[wlen + 1][bagsize + 1];
//初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0
for (int i = 0; i <= wlen; i++){
dp[i][0] = value0;
}
确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
package tanxin;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class two_wei_bag {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};//背包最大容量
int[] value = {15, 20, 30};//每个物品的价值
int bagSize = 4;//背包的容量
dp(weight, value, bagSize);
}
//二维数组解决01背包问题
private static void dp(int[] weight, int[] value, int bagSize) {
int wlen = weight.length;
int value0 = 0;
//定义一个二维数组。dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值
int[][] dp = new int[wlen + 1][bagSize + 1];
//初始化，背包容量为0时，能获得的最大价值只能为0
for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
//遍历顺序，先遍历物品，在遍历背包容量
for (int i = 1; i < wlen; i++) {//遍历物品
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {//遍历背包容量
if (j < weight[i]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
//打印dp数组
for (int i = 0; i < wlen; i++) {
for (int j = 0; j < bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + " ");
}
System.out.print("\n");
}
}
}
滚动数组
滚动数组，就是把二维dp降为一维dp
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
p[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值
递推公式：dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
关于初始化
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
遍历
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
因为二维数组利用的是左上和正上方的数据，转换为一维数组，就要利用左边数据，如果正序遍历就会覆盖左边数据，所以得倒着来
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWight = 4;
testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
}
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
int wLen = weight.length;
//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
416. 分割等和子集
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组如何初始化
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
//dp数组
// dp[i]中的i表示背包内总和
// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
int[]dp = new int[10001];
int sum = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
sum += nums[i];
}
if(sum % 2 == 1) return false;//不是偶数直接返回
int target = sum/2;
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
if(dp[target] == target) return true;
return false;
}
}
1049. 最后一块石头的重量 II
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
本题物品的重量为store[i]，物品的价值也为store[i]。
对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
接下来进行动规五步曲：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背dp[j]这么重的石头。
确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
dp数组如何初始化
dp[j] 表示dp数组的容量，那么最大容量是多少？显然就是全部石头的重量，那么最大30 1000 *我们要求target==最大容量的一半15000
接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
int[] dp = new int[15000];
确定遍历顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。
那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for(int i = 0; i < stones.length; i++){
sum += stones[i];
}
int target = sum/2;
int[] dp = new int[15000];
for(int i = 0; i < stones.length;i++){
for(int j = target; j >= stones[i];j--){
dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target];
}
}
494. 目标和
01背包解决组合问题
https://leetcode.cn/problems/target-sum/solution/dai-ma-sui-xiang-lu-494-mu-biao-he-01bei-rte9/
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for(int i = 0; i < nums.length;i++){
sum += nums[i];
}
int bagSize = (target+sum)/2;
if((target+sum)%2 == 1) return 0;
if(Math.abs(target) > sum) return 0;
int[] dp = new int[bagSize+1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < nums.length;i++){
for(int j = bagSize;j >=nums[i];j--){
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
}
474. 一和零
这道题的本质是有两个维度的01背包
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
int[][] dp = new int[m+1][n+1];
int zeroNum;
int oneNum;
for(String str:strs){//遍历物品
zeroNum = 0;
oneNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
for(int i = m; i >= zeroNum;i-- ){//遍历背包
for(int j = n; j >= oneNum; j--){
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
以输入：[“10”,”0001”,”111001”,”1”,”0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
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