一、B树（B-tree、B-树）

B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现

仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？
①、1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
②、拥有二叉搜索树的一些性质
③、平衡，每个节点的所有子树高度一致
④、比较矮

（一）m阶B树的性质（m≥2）

假设一个节点存储的元素个数为x
①、根节点：1 ≤ x ≤ m − 1
②、非根节点：┌ m/2 ┐ (向上取整)− 1 ≤ x ≤ m − 1
③、如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
✓ 根节点：2 ≤ y ≤ m
✓ 非根节点：┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m
➢ 比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树
➢ 比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为（2, 4）树、2-3-4树
➢ 比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树
➢ 比如 m = 6，3 ≤ y ≤ 6，因此可以称为（3, 6）树
➢ 比如 m = 7，4 ≤ y ≤ 7，因此可以称为（4, 7）树

（二）B树 VS 二叉搜索树

B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的

多代节点合并，可以获得一个超级节点
①、2代合并的超级节点，最 多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
②、3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
③、n代合并的超级节点，最多拥有 2n个子节点（ 至少是 2n阶B树）
m阶B树，最多需要 log2m 代合并

（三）搜索

跟二叉搜索树的搜索类似

先在节点内部从小到大开始搜索元素
如果命中，搜索结束
如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1

（四）添加

新添加的元素必定是添加到叶子节点

插入55

插入95

再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）
①、最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
②、这种现象可以称之为：上溢（overflow）

（五）添加 – 上溢的解决(假设5阶)

上溢节点的元素个数必然等于m

假设上溢节点最中间元素的位置为 k
①、将 k 位置的元素向上与父节点合并
②、将 [0，k-1] 和 [k + 1，m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点

✓ 这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）
一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
✓最极端的情况，有可能一直分裂到根节点

插入98

插入52

插入54

（六）删除 – 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可

删除 30

（七）删除 – 非叶子节点

假如需要删除的元素在非叶子节点中
①、先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
②、再把前驱或后继元素删除
删除 60

非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
①、所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
②、真正的删除元素都是发生在叶子节点中

（八）删除 – 下溢

删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）
①、叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ ≥ ┌ m/2 ┐ − 1 ）
②、这种现象称为：下溢（underflow）
（八）删除 – 下溢的解决1
下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2

如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素
①、将父节点的元素b 插入到下溢节点的0 位置（最小位置）
②、用兄弟节点的元素a（最大的元素）替代父节点的元素b
③、这种操作其实就是：旋转

（八）删除 – 下溢的解决2

如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素
①、将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
②、合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
③、这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播