「我受到这个时代科技的限制，但有一天你会了解一切，到时候你就会改变世界」——【美】奥本海姆

第一章·时域离散信号和时域离散系统

1.时域离散信号

1.1综述

1.1.1定义

在现实中遇到的信号通常是连续的模拟信号，对模拟信号进行采样（常进行等间隔采样），得到的信号就称之为时域离散信号。
当进行采样间隔为常数T的等间隔采样时，采样得到的信号可记作：

在数字信号处理中，常代表时域连续信号，代表时域离散信号，代表频域离散信号。

1.1.2表示方法

对于时域离散信号，有下面三种表示方式：

集合符号法

集合中有下划线的元素表示n=0时刻的采样值（这里没有是因为笔者不会用latex打下划线）

公式法

如下指数信号：

图形法

下图为的图形表示

生成图形的matlab代码如下（为什么不试试紧张刺激的matlab呢？）

n=-5:5;
x=sin(pi*n/5)
stem(n,x,'.');
line([-5,6],[0,0])
axis([-5,6,-1.2,1.2]);
xlabel('n');ylabel('x(n)');

1.2常用的典型序列

1.2.1单位脉冲序列

与 「信号与系统」中用广义积分定义的不同，这里的单位脉冲就是简单的一根棍棍。

1.2.2单位阶跃序列

与可以相互转换，转换的公式如下：

1.2.3矩形序列

矩形序列的N表示矩形序列的长度，矩形序列在后续章节中常用于对信号的截取。

1.2.4实指数序列

若|a|<1，则x(n)随n的增长收敛于0，若|a|>1，则该序列发散。

1.2.5正弦序列

如果一个正弦序列是由模拟信号采样得来的，则有：


因此得到数字角频率与模拟角频率的关系为：

其中为采样频率，其值为采样间隔T的倒数，即

1.2.6复指数序列（重点）

由于重邮数媒特有的「造了楼房不造地基」式培养方案，我们没有学习复变函数，对复指数序列的理解不深。下尝试对这一序列的性质进行总结：

一般复指数序列

最为一般的复指数序列可以用实指数序列和正弦序列来定义：
若：


则有复指数序列:

由于正余弦函数均为有界函数，复指数序列的敛散性就完全取决于了，因此，若1，则x(n)的实部和虚部都随n的增长收敛于0，若1，则该序列的实部和虚部都发散。

可以看出，一般复指数序列的包络线实际上决定于实指数序列（这个性质虽然没用，但显得笔者理解深刻）

周期复指数序列

周期性

当时，复指数序列就具有了周期性，教材上的复指数序列实际上指的是周期复指数序列，周期复指数序列可以如下表示：

该序列有性质：

使用欧拉公式将序列分解为正余弦函数即可证明这一性质，或者可以这样理解：想想看，一个模长为|C|的线段在圆上旋转弧度，那这个线段将必然回到原处。
虽然该序列具有周期性，但请务必注意：这里说的周期性是对于而言的，也就是说该序列在频域具有周期性，在时域未必有周期性（时域周期性的判定方法见1.2.6）。
周期性带来的好处是，在频域研究此类序列时，只需要研究其主值区[]或[]就足够了。

正交性

周期复指数序列具有正交性，这是傅里叶变化成立的数学基础，即有：

正交性证明的一种理解：可以把复指数序列用欧拉公式分解成复数的正余弦函数的形式，而正余弦函数在一个周期上的积分总是0，因此复指数序列在一个周期上的积分也一定为0了。

1.2.7周期序列

周期序列的判定条件为：

其中，N为最小的正整数，则称x(n)为周期性序列，周期为N。
对于正余弦信号，，其周期的判定条件如下：

• 

• 

  1.2.8序列的单位脉冲序列移位加权和表示法（小标题太长了！）

  对于任意序列，都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示（这也是卷积和运算的数学基础）。即有：
  
  这一性质用单位脉冲序列的取样性质可以很容易地理解。

  1.3序列的运算

  序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转、以及尺度变换。
  在处理移位、翻转、尺度变换类的问题时，可以使用宗量法对运算的结果进行检验。
  宗量法：
  

  2.时域离散系统

  2.1综述

  2.1.1定义

  奥本海姆对系统下了这样一个定义：系统总是对给定的信号作出响应而产生出另外的信号、或是产生某些所需要的特性。
  从纯数学的角度来看，系统可以被看成是一个算子T[·]，若系统的输入x(n)与输出y(n)均为离散信号，且系统在时域产生作用，则称这个系统被称之为时域离散系统，既有：
  
  

  2.1.2有关概念

  初始观察时刻

  设为系统的初始观察时刻，则称前的输入为历史输入信号，则称后的输入为当前输入信号（简称输入信号）。

  零输入响应

  仅由时的初始状态及历史输入信号引起的响应被称之为零输入响应。

  零状态响应

  仅有当前输入信号引起的响应被称之为零状态响应。

  全响应

  零输入响应与零状态响应的和被称之为全响应。

  2.2系统的性质

  2.2.1线性

  若一个系统满足：
  
  则称该系统是线性系统。
  线性系统的表达式的各项均为一次项，无常数项、高次项、三角函数项等。但是如果表达式中出现的各非一次项并不影响系统的输入或输出，（如作为加权系数），则可以出现。

  2.2.2时不变性

  若一个系统满足：
  
  则称该系统是时不变系统。
  时变系统存在变系数（即系数中含有关于n的函数），或系统展、翻折。

  2.2.3因果性

  若系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻之前的输入序列，则称该系统具有因果性。我们生活在一个遵循因果律的世界里，不具有因果性的系统在现实中是无法被实现的。
  对于线性时不变系统来说，因果性的充要条件是：
  系统的单位脉冲响应满足：
  

  2.2.4稳定性

  若一个系统的输入有界时，它的输出必定有界，则称这个系统具有稳定性。系统的稳定性关系到这个系统能否稳定地运行（废话）。
  对于线性时不变系统来说，稳定性的充要条件是：
  系统的单位脉冲响应绝对可和，即：
  

  2.3线性时不变系统与卷积运算

  2.3.1线性时不变系统的单位脉冲响应

  对于线性时不变系统T[·]，常将其单位脉冲响应命名为h(n),即：
  
  h(n)可以完全表征一个线性时不变系统的时域特征。
  若将x(n)输入进一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统，则该系统的响应y(n)为：
  
  （这一性质用1.2.8序列的单位脉冲序列移位加权和表示法可以很容易证明，给读者留作练习）

  2.3.2卷积

  定义

  在2.3.1中对离散序列的卷积运算做出了定义，即：
  

  性质

  卷积运算服从交换律、结合律和分配律，这也表明线性时不变系统可以进行级联和并联。
  

  计算方法

  图解法（表格法）：离散卷积实际上在对两个序列中的任一个序列做翻转和移动、并不断跟另一个序列求和相加，用表格复现这一过程便可计算卷积：
  
  解析法：如果已知两个序列的解析表达式，将其带入卷积的公式中便可直接运算。使用解析法计算卷积时，关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上下限。
  在计算这类问题中，常用到等比级数求和公式：

• 有限项级数：

• 无限项级数：

2.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程

2.4.1线性常系数差分方程

可以用线性常系数差分方程来描述时域离散系统的输出输入，其数学形式如下：

2.4.2线性常系数差分方程的求解

线性常系数差分方程的求解方法有(1)经典解法(2)递推解法(3)变换域解法。实际上只需要用第三种方法，把方程左右两边都一股脑变换到Z域上就可以求解了。

3.模拟数字处理方法（重点）

常见的数字信号处理方法如下图所示，本节主要介绍采样定理和采样恢复。

3.1模拟信号转换为数字信号（时域采样）

3.1.1采样的过程

时域采样（下简称采样）是把模拟信号转换为数字信号的过程。采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S，开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为，在电子开关的输出端就可得到其采样信号。在理想情况下，认为, 则有：

由单位脉冲信号的取样性质可以将上式化简（这真的能算是化简吗？）：

3.1.2采样在频域中的性质

对理想采样信号进行傅里叶变换（请注意，这里的变换是有一点困难的，要用到频域卷积性质），可知：

上式表明理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率（）重复一次，并叠加形成的周期函数。对于带限信号来说，若其最高频率为，则有如下性质：
当，则基带谱和其他周期延拓形成的谱不重叠。这时使用理想低通滤波器就可以从采样信号中不失真地把模拟信号提取出来。

3.1.3采样定理

采样定理的内容为：如果采样角频率满足时，则采样信号可以唯一地、不失真地恢复出原连续信号，被称为奈奎斯特采样率。

3.2数字信号转换为模拟信号

3.2.1理想转换法

把理想低通滤波器进行傅里叶逆变换，就可以得到内插函数：

（形式看上去有点吓人，实际上就是个Sa函数而已）
由于理想低通滤波器是非因果的，在现实中是无法实现的，所以其逆变换在现实中也是无法实现的。现实中常用解码器-零阶保持器-平滑滤波器的方法实现数模转换。

3.2.2实际转换法

这种方法其实没啥好说的，就是将离散的数字信号的各采样值保持不变，直到下一个采样值出现为止。实现这一过程的器件被称之为零阶保持器。

4.第一章常见题型整理

4.1序列的运算：加权、平移与翻转

例题：

除了可以用宗量法检查以外，没啥好说的，这种题不会的建议REMAKE。

4.2判断序列的周期性

4.2.1正余弦序列

例：

解：

4.2.2虚指数序列

例：

解：

重点是确定的值，为自变量前的系数，确定后计算并判断其是否为无理数即可

4.3系统性质的判定

4.3.1线性

判定方法：

• 
• 系统的差分方程无高次项、常数项、非线性项。

例：

4.3.2非时变性

判定方法：

• 
• 系统的差分方程无变系数项，无对时间的拉伸项。

例：

4.3.3因果性

4.3.4稳定性

4.4LTI系统的单位冲激序列响应与卷积运算

第二章·时域离散信号和系统的频域分析

1.时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质

1.1傅里叶正变换

将离散序列x(n)的傅里叶变换定义为：

离散序列FT[x(n)]存在的充分条件是x(n)绝对可和，即满足：

注意，离散傅里叶变换的对象x(n)是离散的时间序列，而变换后得到的是连续的以为周期的周期函数。

1.2傅里叶反变换

傅里叶反变换的公式为：

1.3傅里叶变换的性质

1.3.1周期性

根据傅里叶变换的表达式可证明，时域离散信号的傅里叶变换具有周期性：

可知FT是的周期函数，周期为。

1.3.2线性

时域离散信号的傅里叶变换具有线性，即：

1.3.3时移与频移性质

设,那么

1.3.4对称性（重点）

1.3.4.1共轭对称性

若序列，则称序列为共轭对称序列。

1.3.4.2共轭反对称性

若序列，则称序列为共轭反对称序列。

1.3.4.3序列分解为共轭对称序列和共轭反对称序列

对于任意序列，可以把其分解为共轭对称序列和共轭反对称序列的和：

1.3.4.4傅里叶变换中的虚实共轭对称关系

将序列按实部虚部进行分解，其傅里叶变换有：

将序列按共轭对称序列和共轭反对称序列分解，其傅里叶变换有：

即共轭对称部分对应实部，共轭反对称部分对应虚部。

1.3.5时域卷积定理

设

则有：

1.3.6频域卷积定理

设

则有：

1.3.7Parseval定理

当遇到不容易计算的求和式时，常用Parseval定理将其转换到频域使用积分进行求解。同理，当遇到不好计算的积分时，可以将其转换到时域使用求和式进行求解。

1.3.8总结

下表对常用的傅里叶变换进行了总结：

2.周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表达式

2.1周期序列的离散傅里叶级数

2.1.1定义

由于周期序列不满足离散傅里叶变换存在的充分条件，即绝对可和的条件，因此，周期序列不存在傅里叶变换。
（注：这句话是书上的原文，但根据我自己的理解，绝对可和只是傅里叶变换存在的充分条件，并非充要条件。如果允许冲激函数存在，很多不满足绝对可和的周期序列的傅里叶变换表达式也是存在的，在2.2的表格里有很多例子。）但是由于其周期性，可以将其展为傅里叶级数，其傅里叶变换可以用公式表示出来。
设是以N为周期的周期序列，则有：


上式表明，将周期序列分解为N次谐波，第k个谐波频率为，幅度为，基波分量的频率为，幅度为，一个周期序列可以用其DFS系数表示他的频谱分布规律。

2.2周期序列的傅里叶变换表达式

这一部分与信号与系统完全一致，吃老本即可，而且我觉得不太会考。

2.2.1周期序列傅里叶变换计算公式

由于不满足绝对可和的条件，需要引入冲激函数才能表示出离散周期序列的傅里叶变换表达式，计算公式为：

2.2.2基本序列的傅里叶变换

2.3时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系

时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系：

根据上式，有如下两个结论：

• 时域离散信号的频谱是模拟信号频谱的周期性延拓，周期为
• 计算模拟信号的FT可以用计算相应的时域离散信号的FT得到，方法是：先以高于奈奎斯特采样率的频率对模拟信号进行采样，然后对离散信号进行FT，最后截取其在上的主值区，再乘以采样间隔T。

  3.序列的Z变换

  3.1定义

  序列x(n)的z变换定义为：
  

  3.2收敛域

  3.2.1收敛域的定义

  z变换存在的充要条件为等号右边的级数收敛，即绝对可和：
  
  满足这个条件时，变量z的取值的域被称为收敛域，一般收敛域为环状域。

  3.2.2序列特性对收敛域的影响

  3.2.2.1有限长序列

  有限长序列

其Z变换为，其收敛域为：

3.2.2.2右序列

若对于序列x(n)，当时，序列值全为0，时，序列值不全为0，则称该序列为右序列。
其Z变换为,其收敛域为：

3.2.2.3左序列

若对于序列x(n)，当时，序列值全为0，时，序列值不全为0，则称该序列为左序列。
其Z变换为,其收敛域为：

可以看到，右序列的收敛域是在某一圆内，是否包含零点由的取值范围决定。

3.2.2.4双边序列

双边序列可以看作是一个右序列和一个左序列的和，其收敛域为这两个序列的交集，根据和的 大小，其收敛域可能为一个圆环或不存在收敛域。

3.3逆Z变换

3.3.1表达式

逆Z变换的表达式为：

3.3.2留数法（还没学会，放一放，学会了再整理）

3.3.3部分分式展开法

若，且X(z)为有理函数，则可以将X(z)展开成下式：

即：

其逆z变换即为：

注意，使用部分分式展开法求解逆Z变换时要先行计算收敛域。

3.4常见序列的Z变换

3.5Z变换的性质

3.5.1线性性质

收敛域为X(z)与Y(z)的收敛域的交集。

3.5.2移位性质

收敛域不变。
对于因果信号，其在n<0时x(n)=0，因此序列右移的单边z变换公式与初值有关，有：


……

3.5.3序列乘以指数序列

收敛域为：

3.5.4序列乘以n

收敛域不变。

3.5.5复共轭序列的ZT

收敛域不变。

3.5.6初值定理

对于因果序列，有：

3.5.7终值定理

对于因果序列，且其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆上，则有：

3.5.8时域卷积定理

收敛域为X(z)与Y(z)的收敛域的交集。

3.5.9复卷积定理

收敛域为：

3.5.10Parseval定理

Parseval定理表明一个信号在时域中的能量与z域中的能量相等。

3.6利用Z变换求解差分方程

可以用线性常系数差分方程描述离散时域系统输入和输出之间的关系，其一般形式如下：

3.6.1稳态解的求解

若输入的信号x(n)为非因果序列，n时刻的y(n)就被称为稳态解，对两边进行z变换，求解出Y(z)，再使用部分分式展开法或留数法求解出y(n)即可。

3.6.2暂态解的求解

若输入的信号x(n)为因果序列，即n<0时，x(n)=0,n时刻的y(n)就被称为暂态解，同样对方程两边进行z变换，不过此时使用时移性质时，需要使用序列右移的单边z变换公式，将初值代入公式。此时有：

与系统的初始状态无关，称之为零状态解，与输入信号无关，称之为零输入解，分别对两部分进行逆Z变换，即可得到系统的零状态响应和零输入响应。

3.7利用z变换分析信号和系统的频响特性

3.7.1系统函数

将一个系统的单位脉冲序列的响应h(n)进行傅里叶变换，得到：

将称之为系统的频率响应函数，称之为幅频特性函数，称为相频特性函数。
将h(n)进行Z变换，得到H(z)，若系统由线性常系数差分方程表示，则有：

将称之为系统函数，它表征了系统的复频域特性，当的收敛域包含单位圆|z|=1 时，有

3.7.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

3.7.2.1系统的因果性

系统具有因果性的充要条件是其系统函数的收敛域包含点，即点不是极点。

3.7.2.2系统的稳定性

系统具有稳定性的充要条件是其系统函数的收敛域包含单位圆。

3.7.2.3因果稳定系统

如果一个系统同时具有因果性和稳定性，则其收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可以表示为：

即其极点集中就说点名的时候去上厕所了。

3.7.3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性

系统函数的每一个零极点和单位圆上的动点可以形成若干个向量，随着动点的移动，各向量也会发生变化，观察各向量的变化，即可分析出系统的频率响应特性。系统的幅频特性和相频特性和向量的关系为：

4.第二章常见题型整理

（摸了）

第三章·离散傅里叶变换

1.离散傅里叶变换的定义及物理意义

1.1离散傅里叶变换的定义

1.1.1正变换DFT

x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：

1.1.2反变换IDFT

X(k)的离散傅里叶逆变换定义为：

1.2DFT,FT,ZT之间的关系

1.2.1DFT与FT之间的关系

上式表明X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间上的N点等间隔采样。

1.2.2DFT与ZT之间的关系

上式表明X(k)为x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。

1.3DFT的隐含周期性

因为函数有：

则有：

可知序列的DFT具有周期性，即

将周期序列 在上的一个周期称之为的主值序列，称之为主值区间，有：

因此，实质上是的周期延拓序列的频谱特性。

2.离散傅里叶变换的基本性质

2.1线性性质

2.2循环移位性质

2.2.1循环移位的定义

定义循环移位为：

2.2.2时域循环移位定理

2.2.3频域循环移位定理

2.3循环卷积

2.3.1定义

定义循环卷积为：

L为循环卷积区间长度，有：

2.3.2计算方法

一般用循环矩阵法计算玄幻卷积，计算方法如下：

当序列长度小于卷积区间长度L时，则需要在序列后补零，如下例：

2.3.3循环卷积定理

2.3.3.1时域卷积定理

2.3.3.2频域卷积定理

2.4复共轭序列的DFT

2.5共轭对称性(注意应用)

2.5.1有限长序列的共轭对称性

如果一个序列满足：

则称该有限长序列有共轭对称性。

2.5.2有限长序列的共轭反对称性

如果一个序列满足：

则称该有限长序列有共轭反对称性。

2.5.3有限长序列分解为共轭对称序列和共轭反对称序列

2.5.4DFT的共轭对称性

如果将以虚实分解为：

则有：


如果将以共轭对称性分解为：

则有：

2.5.5DFT共轭对称性的应用

利用共轭对称性，可以通过计算一个N点DFT，得到两个实序列的N点DFT：
构造新序列：

则有：


可以反解出：

3.频域率采样

3.1频率采样定理

序列的长度为M，则只有当频率采样点数时，才有：

即可以从频域采样X(k)中恢复原序列x(n),否则将产生时域混叠现象。

3.2频域内插公式

使用频域内插公式可以将频域采样还原为连续的频谱，公式如下：


与内插函数类似，该公式也无法在现实中实现，只能逼近实现。

4.DFT的应用

4.1用DFT计算线性卷积

4.1.1由DFT计算循环卷积

用DFT可以计算循环卷积，并达到计算量降级的效果，其一般流程如下图所示：

用DFT的时域循环卷积定理可以证明这一方法的正确性。

4.1.2由DFT计算线性卷积

DFT通过时域循环卷积定理可以直接用来计算循环卷积，当满足条件：

其中，L为循环卷积长度，N为的长度，M为的长度。此时，线性卷积以L为周期进行周期延拓才无时域混叠现象，此时循环卷积与线性卷积相等。即可以用DFT直接计算线性卷积。由于常常用FFT算法来实现DFT和IDFT，这一方法也常称为快速卷积。

4.2用DFT对信号进行谱分析

4.2.1连续谱分析时的参数选择原则

当已知信号的最高频率时，为了避免频率混叠现象，要求采样速率满足：

谱分辨率，越小，表明频谱的分辨率越优异，因此，和可以依照下式进行选择：

4.2.2DFT进行谱分析时的误差问题

4.2.2.1混叠现象

采样速率必需满足采样定理：

否则会在附近发生频谱混叠现象。

4.2.2.2栅栏效应

N点DFT是在频率区间上对时域离散信号的频谱进行N点间隔采样，导致采样点中间的频谱不可见，这一效应被称为栅栏效应。
减少栅栏效应的方法有：

• 有限长序列，在原序列尾部补零。
• 无限长序列，增大截断长度以及DFT变换区间长度，增加频域采样点数和采样点位置。

• 连续谱分析，增加采样速率。

  4.2.2.3截断效应

  为了分析无限长的序列，在使用DFT时，需要使用窗函数对序列进行截断，形成长度为N的有限长序列。当窗函数为矩形信号，其幅度谱为Sa函数。
  
  图中，的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。在被窗函数截断后，序列的频谱会发生变化：

• 泄露：在截断后，序列的离散谱线会向附近展宽，使得频谱变模糊，分辨率降低。矩形窗函数产生的泄露最小。

• 谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰。矩形窗函数产生的谱间干扰最大。

  5.第三章常见题型整理

  (摸了)

  第四章·快速傅里叶变换

  1.基2FFT算法

  1.1时域抽取法DIT-FFT

  将x(n)按n的奇偶性把x(n)分解为两个N/2点的子序列：
  
  
  所以其DFT为
  
  有：
  
  
  这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT的蝶形运算了，可以用下面的蝶形运算符号来表示这一过程：
  
  8点DFT一次时域抽取分解运算流图如下所示：
  
  8点DFT两次时域抽取分解运算流图如下所示：
  
  当N点DFT进行次时域抽取分解运算时，就被称之为DIT-FFT算法，8点DIT-FFT运算流图如下所示：
  

  1.2DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较

  1.2.1直接计算DFT

  直接计算DFT的复数乘法次数为：
  
  复数加法次数为：
  

  1.2.2DIT-FFT算法

  DIT-FFT算法计算DFT的复数乘法次数为：
  
  复数加法次数为：
  

  1.2.3DIT-FFT算法的特点

• 原位计算，空间复杂度为

• 乱序输入，顺序输出

  1.3频域抽取法DIF-FFT

  将X(k)按k的奇偶性分为两组，即：
  
  
  则有：
  
  
  其中，
  （这里有点没看懂，之后再来整理）

  第五章·时域离散的网络结构

  第六章·无限脉冲响应数字滤波器的设计

  1.模拟巴特沃斯低通滤波器的设计

  1.1模拟低通滤波器的设计指标

  
  频率响应函数
  单位为dB，损耗函数，也称为衰减函数
  通带最大衰减（即上允许的最大值）
  通带边界频率
  阻带最小衰减（即上允许的最小值）
  阻带边界频率

  1.2模拟巴特沃斯低通滤波器的设计流程

  STEP1 根据下列公式，求得滤波器的阶数

  

  
  
  若代入公式后的N不为整数，则向上取整

  STEP2 求得归一化极点和归一化低通原型系统函数，有两种方法：

• 公式法：

用公式,计算出归一化极点
用公式,计算出归一化低通原型系统函数

• 查表法：

查找巴特沃斯归一化低通滤波器参数表，直接得到归一化极点和归一化低通原型系统函数

STEP3 去归一化

将代入,得到实际的滤波器系统函数,其中为3dB截止频率，当题目没有给出的时候，需要用下两式之一计算得出：


注意，当时，,不需要再用公式算了。

2.脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

2.1脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的设计流程

STEP1 求系统函数的极点，对系统函数用部分分式展开法展开为下式的形式：

STEP2 对进行z变换，得到数字滤波器的系统函数为：

（实际上也不用真的变换，带公式就行）

STEP3 将T的值代入

2.2脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的混叠失真与优缺点

2.2.1混叠失真

如果原的频带不是限于之间，则会在奇数附近产生频谱混叠，对应数字频率在附近产生频谱混叠。因此，高通和带阻滤波器不适用于这种方法设计。

2.2.2优缺点

优点：

• 频率的变换关系是线性的，即,不考虑频谱混叠现象时，这种方法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响特性。
• 完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。

缺点：

• 产生不同程度的频谱混叠失真，不适用于高通、带阻滤波器的设计。

  3.双线性变换法设计IIR数字低通滤波器

  3.1双线性变换法设计IIR数字低通滤波器的设计流程

  STEP1 进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标

  
  

  STEP2 根据模拟滤波器指标，根据1.2中的流程，设计巴特沃斯模拟低通滤波器，得到系统函数

  STEP3 将代入，得到数字低通滤波器的系统函数

  3.2双线性变换法的原理与优缺点

  3.2.1原理

  采用非线性频率压缩方法，将整个模拟频率轴压缩到之间，再用转换到z平面上。一般使用正切变换实现频率压缩。

  3.2.2优缺点

  优点：

• 消除了频谱混叠现象。

缺点

• 和之间是非线性关系，使数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状。使得这种方法适合片段常数特性滤波器的设计，如选频滤波器的通带和阻带。

  4.数字高通、带通和带阻滤波器的设计

  4.1设计流程

  STEP1 确定技术指标

  STEP2 将所需类型数字滤波器的边界频率转换成响应类型的过渡模拟滤波器的边界频率，转换公式如下：

  

  STEP3 将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标

  STEP4 设计模拟低通滤波器

  STEP5 通过频率变换将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器

  STEP6 采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器

  4.2适用范围

  脉冲响应不变法：数字低通、数字带通
  双线性变换法：数字低通、数字带通、数字高通、数字带阻

  第七章·有限脉冲响应数字滤波器的设计

  1.线性相位FIR数字滤波器的条件和特点

  1.1不同情况可实现的滤波器的判定与相位特性

  | 第一类线性相位特性h(n)=h(N-1-n) | | | | | —- | —- | —- | —- | | 情况1 | N为奇数 | 可实现低通、高通、带通、带阻 | | | 情况2 | N为偶数 | 可实现低通、带通 | | | 第二类线性相位特性h(n)=-h(N-1-n) | | | | | 情况3 | N为奇数 | 可实现带通 | | | 情况4 | N为偶数 | 可实现高通、带通 | |

1.2不同情况可实现的滤波器的幅度特性

• 情况1：关于三点偶对称
• 情况2：关于奇对称，两点偶对称
• 情况3：关于三点奇对称
• 情况4：关于两点奇对称，偶对称

「つづく」