图片缺失

第一试

一、选择题

1. 设二次函数 的图像的顶点为 , 与 轴的交点为 , . 当 为等边三角形时, 其边长为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 C.

   由题设知 #card=math&code=A%20%28-a%2C%20-%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%29). 设 #card=math&code=B%28x_1%2C0%29), #card=math&code=C%28x_2%2C0%29), 二次函数的图像的对称轴与 轴的交点为 , 则 %5E2%20-%204%20x_1%20x_2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B4a%5E2%20-%204%20%5Ctimes%20%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2a%5E2%7D#card=math&code=BC%20%3D%20%7Cx_1%20-%20x_2%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2%20-%204%20x_1%20x_2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B4a%5E2%20-%204%20%5Ctimes%20%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2a%5E2%7D). 又 , 则 , 解得 或 (舍去). 所以, 的边长 .

1. 如图, 在矩形 中, 的平分线交 于点 , , , 则 (____)
   
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 D.

   延长 交 于 , 过点 作 的垂线, 垂足为 . 由已知得 , , . 设 , 则 , . 因为 , 所以 , 解得 . 所以 .

1. 设 , 均为大于 的素数, 使得 为完全平方数的素数对 #card=math&code=%28p%20%2Cq%29) 的个数为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 B.

   设 ( 为自然数), 则 %5E2%20%2B%20pq%20%3D%20m%5E2#card=math&code=%28p%2B2q%29%5E2%20%2B%20pq%20%3D%20m%5E2), 即 (m%2Bp%2B2q)%20%3D%20pq#card=math&code=%28m-p-2q%29%28m%2Bp%2B2q%29%20%3D%20pq). 由于 , 为素数, 且 , , 所以 , , 从而 , 即 (q-2)%20%3D%200#card=math&code=%28p-4%29%28q-2%29%20%3D%200), 所以 %20%3D%20(5%2C11)#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%20%285%2C11%29) 或 #card=math&code=%287%2C5%29). 所以满足条件的素数对 #card=math&code=%28p%2Cq%29) 的个数为 .

1. 若实数 , 满足 , %5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B(1%2Bb)%5E2%7Da%20%3D%204#card=math&code=%5Cdfrac%7B%281-a%29%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B%281%2Bb%29%5E2%7Da%20%3D%204), 则 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 C.

   由条件 %5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B(1%2Bb)%5E2%7Da%20%3D%204#card=math&code=%5Cdfrac%7B%281-a%29%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B%281%2Bb%29%5E2%7Da%20%3D%204) 得 , 即 %20-%202%20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%204ab%20%5D%20%2B%20(a-b)%20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%200#card=math&code=%28a-b%29%20-%202%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%204ab%20%5D%20%2B%20%28a-b%29%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%200), 又 , 所以 , 解得 . 所以 %5E2%20%2B%202ab%20%3D%206#card=math&code=a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%3D%20%28a-b%29%5E2%20%2B%202ab%20%3D%206), %20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%2014#card=math&code=a%5E3%20-%20b%5E3%20%3D%20%28a-b%29%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%2014), %20(a%5E3%20-%20b%5E3)%20-%20a%5E2%20b%5E2%20(a-b)%20%3D%2082#card=math&code=a%5E5%20-%20b%5E5%20%3D%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%29%20%28a%5E3%20-%20b%5E3%29%20-%20a%5E2%20b%5E2%20%28a-b%29%20%3D%2082).

1. 对任意的整数 , 定义 , 则使得 %20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%2B%20(y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%2B%20(z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%3D%200#card=math&code=%28x%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%2B%20%28y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%2B%20%28z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%3D%200) 的整数组 #card=math&code=%28x%2Cy%2Cz%29) 的个数为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 D.

   %20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%0A%26%3D%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)%20%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%5C%5C%0A%26%3D%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)%20%2B%20z%20-%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)z%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%28x%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%0A%26%3D%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29%20%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%5C%5C%0A%26%3D%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29%20%2B%20z%20-%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29z%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 由对称性, 同样可得 %20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%5C%5C%0A(z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%28y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%5C%5C%0A%28z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以, 由已知可得 , 即 %20(y-1)%20(z-1)%20%3D%20-1#card=math&code=%28x-1%29%20%28y-1%29%20%28z-1%29%20%3D%20-1). 所以, 为整数时, 只能有以下几种情况: 所以, %20%3D%20(2%2C2%2C0)#card=math&code=%28x%2Cy%2Cz%29%20%3D%20%282%2C2%2C0%29) 或 #card=math&code=%282%2C0%2C2%29) 或 #card=math&code=%280%2C2%2C2%29) 或 #card=math&code=%280%2C0%2C0%29), 共有 个符合要求的整数组.

1. 设 , 则 的整数部分是 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 B.

   因为 , 所以 . 又 %20%2B%20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7B2031%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2032%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3E%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Ctimes%2013%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Ctimes%2020%20%3D%20%5Cdfrac%7B1345%7D%7B83230%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AM%20%26%3D%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7B2018%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2019%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Cright%29%20%2B%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7B2031%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2032%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3E%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Ctimes%2013%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Ctimes%2020%20%3D%20%5Cdfrac%7B1345%7D%7B83230%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以 . 故 的整数部分是 .

二、填空题

1. 如图, 在平行四边形 中, , 于 , 为 的中点, 若 , 则 ________.
   > 答 .

   设 的中点为 , 连结 交 于 , 由题设条件知 为菱形. 由 及 为 的中点, 知 为 的中点. 又 , 所以 , 所以 垂直平分 , 故 . 所以 .

1. 若实数 , 满足 %20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14%20%28x%2By%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2), 则 的最大值为 ________.> 答 .

   由 %20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14%20%28x%2By%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2) 可得 %20%5Cleft(%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=%28x%2By%29%20%5Cleft%28%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2). 令 , 注意到 %5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3E%200#card=math&code=x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3D%20%5Cleft%28%20x%20-%20%5Cdfrac%20y2%20%5Cright%29%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3E%200), 故 . 又因为 %20%5Cleft(%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20k%20%5Cleft(%20k%5E2%20-%203xy%20%2B%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=%28x%2By%29%20%5Cleft%28%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20k%20%5Cleft%28%20k%5E2%20-%203xy%20%2B%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2), 故 . 于是, , 可以看做是关于 的一元二次方程 的两根, 所以 %5E2%20-%204%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bk%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14k%20-%20%5Cdfrac%7B15%7D2%7D%7B3k%7D%20%5Cge%200#card=math&code=%5CDelta%20%3D%20%28-k%29%5E2%20-%204%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bk%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14k%20-%20%5Cdfrac%7B15%7D2%7D%7B3k%7D%20%5Cge%200), 化简得 , 即 %20(k%5E2%20%2B%203k%20%2B%2010)%20%5Cle%200#card=math&code=%28k-3%29%20%28k%5E2%20%2B%203k%20%2B%2010%29%20%5Cle%200), 所 . 故 的最大值是 3.

1. 没有重复数字且不为 的倍数的五位数的个数为 ________.> 答 .

   显然首位数字不能为 , 末位不能为 和 . 当首位数字不为 时, 则首位只能选 , 之外的 个数. 相应的个位数字只能选 , 及万位数之外的 个数, 千位上只能选万位和个位之外的 个数, 百位上只能选剩下的 个数, 十位上只能选剩下的 个数. 所以, 此时满足条件的五位数的个数为 个. 当首位数字为 时, 则个位有 个数可选, 依次千位有 个数可选, 百位有 个数可选, 十位有 个数可选. 所以, 此时满足条件的五位数的个数为 个. 所以, 满足条件的五位数的个数为 (个).

1. 已知实数 满足 , , 则 ________.> 答 .

   由已知条件可得 %5E2%20-%20(a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2Bc%5E2)%20%5D%20%3D%20-%5Cdfrac12%20%5C%5C%0Aa%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%20%3D%203abc%0A%5Cend%7Bgathered%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Bgathered%7D%0Aab%2Bbc%2Bca%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5B%20%28a%2Bb%2Bc%29%5E2%20-%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2Bc%5E2%29%20%5D%20%3D%20-%5Cdfrac12%20%5C%5C%0Aa%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%20%3D%203abc%0A%5Cend%7Bgathered%7D%0A) 所以 %20(a%5E3%20%2B%20b%5E3%20%2B%20c%5E3)%20-%20%5Ba%5E2%20(b%5E3%20%2B%20c%5E3)%20%2B%20b%5E2%20(a%5E3%20%2B%20c%5E3)%20%2B%20c%5E2%20(a%5E3%20%2B%20b%5E3)%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20-%20%5Ba%5E2%20b%5E2%20(a%2Bb)%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20(b%2Bc)%5D%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20(a%2Bc)%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20%2B%20(a%5E2%20b%5E2%20c%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20a%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20b)%20%5C%5C%0A%26%3D%20abc%20(3%20%2B%20ab%20%2B%20bc%20%2B%20ac)%20%3D%20%5Cdfrac52%20abc%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa%5E5%20%2B%20b%5E5%20%2B%20c%5E5%0A%26%3D%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%20c%5E2%29%20%28a%5E3%20%2B%20b%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20-%20%5Ba%5E2%20%28b%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20%2B%20b%5E2%20%28a%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20%2B%20c%5E2%20%28a%5E3%20%2B%20b%5E3%29%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20-%20%5Ba%5E2%20b%5E2%20%28a%2Bb%29%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20%28b%2Bc%29%5D%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20%28a%2Bc%29%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20%2B%20%28a%5E2%20b%5E2%20c%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20a%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20b%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20abc%20%283%20%2B%20ab%20%2B%20bc%20%2B%20ac%29%20%3D%20%5Cdfrac52%20abc%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以 .

第二试

1. 设 为四个不同的实数, 若 为方程 的根, 为方程 的根, 求 的值.> 由韦达定理得 , , 两式相加得 #card=math&code=a%2Bb%2Bc%2Bd%20%3D%2010%28a%2Bc%29).

   因为 是方程 的根, 所以 . 又 , 所以 . 类似可得 , 两式相减得 (a%2Bc-121)%3D0#card=math&code=%28a-c%29%28a%2Bc-121%29%3D0). 因为 , 所以 , 所以 %20%3D%201210#card=math&code=a%2Bb%2Bc%2Bd%20%3D%2010%28a%2Bc%29%20%3D%201210).

1. 如图, 在扇形 中, , , 点 在 上, , 点 为 的中点, 点 为弧 上的动点, 与 的交点为 .
   (1) 当四边形 的面积 最大时, 求 ;
   (2) 求 的最小值.
   > (1) 分别过 作 的垂线, 垂足为 , 由 , , 得 . 所以

   %20%5C%5C%0A%26%20%5Cle%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20OE%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ctimes%2010%20%5Ctimes%2012%20%3D%2060%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AS%20%26%3D%20S%7B%5Ctriangle%20OCD%7D%20%2BS%7B%5Ctriangle%20ECD%7D%20%3D%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20%28OM%2BEN%29%20%5C%5C%0A%26%20%5Cle%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20OE%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ctimes%2010%20%5Ctimes%2012%20%3D%2060%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 当 时, 取得最大值 , 此时 . (2) 延长 至点 , 使 , 连结 , . 因为 , , 所以 , 所以 , 故 . 所以 , 当 三点共线时等号成立. 故 的最小值为 .

1. 求所有的正整数 , 使得 %5E2%7D#card=math&code=%5Cdfrac%7Bm%5E3%20%2B%20n%5E3%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D) 是非负整数.> 记 %5E2%7D#card=math&code=S%20%3D%20%5Cdfrac%7Bm%5E3%20%2B%20n%5E3%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D), 则

   %20%5B(m%2Bn)%5E2%20-%203mn%5D%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B(m%2Bn)%5E2%7D%20%3D%20(m%2Bn)%20-%20%5Cdfrac%7B3mn%7D%7Bm%2Bn%7D%20-%20%5Cleft(%20%5Cdfrac%7Bmn%7D%7Bm%2Bn%7D%20%5Cright)%5E2%0A#card=math&code=S%20%3D%20%5Cdfrac%7B%28m%20%2B%20n%29%20%5B%28m%2Bn%29%5E2%20-%203mn%5D%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3mn%7D%7Bm%2Bn%7D%20-%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac%7Bmn%7D%7Bm%2Bn%7D%20%5Cright%29%5E2%0A) 因为 为正整数, 故可令 , 其中 为正整数, 且 %20%3D%201#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%201). 于是 %20-%20%5Cdfrac%7B3q%7Dp%20-%20%5Cdfrac%7Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D%20%3D%20(m%2Bn)%20-%20%5Cdfrac%7B3pq%2Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D#card=math&code=S%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3q%7Dp%20-%20%5Cdfrac%7Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3pq%2Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D). 因为 是非负整数, 所以 , 又 %20%3D%201#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%201), 故 , 即 %20%5Cmid%20mn#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20mn). 又 %20%5Cmid%20(mn%20%2B%20n%5E2)#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20%28mn%20%2B%20n%5E2%29), 因此 %20%5Cmid%20n%5E2#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20n%5E2), 故 , . 又由 知 . 所以 %20%5Cge%20m%5E2%20n#card=math&code=n%5E3%20%5Cge%20m%5E2%20%28n%5E2%20-%20m%29%20%5Cge%20m%5E2%20n), 所以 . 由对称性, 同理可得 , 故 . 于是由 %20%5Cmid%20mn#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20mn) 可得 , 则 . 又由 可得 , 解得 . 故 . 同理 . 所以, 满足条件的正整数 为 , .