第一试
一、选择题
- 设二次函数
的图像的顶点为
, 与
轴的交点为
,
. 当
为等边三角形时, 其边长为
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
C.由题设知
#card=math&code=A%20%28-a%2C%20-%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%29). 设
#card=math&code=B%28x_1%2C0%29),
#card=math&code=C%28x_2%2C0%29), 二次函数的图像的对称轴与
轴的交点为
, 则
%5E2%20-%204%20x_1%20x_2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B4a%5E2%20-%204%20%5Ctimes%20%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2a%5E2%7D#card=math&code=BC%20%3D%20%7Cx_1%20-%20x_2%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2%20-%204%20x_1%20x_2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B4a%5E2%20-%204%20%5Ctimes%20%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2a%5E2%7D). 又
, 则
, 解得
或
(舍去). 所以,
的边长
.
- 如图, 在矩形
中,
的平分线交
于点
,
,
, 则
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
D.延长
交
于
, 过点
作
的垂线, 垂足为
. 由已知得
,
,
. 设
, 则
,
. 因为
, 所以
, 解得
. 所以
.
- 设
,
均为大于
的素数, 使得
为完全平方数的素数对
#card=math&code=%28p%20%2Cq%29) 的个数为
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
B.设
(
为自然数), 则
%5E2%20%2B%20pq%20%3D%20m%5E2#card=math&code=%28p%2B2q%29%5E2%20%2B%20pq%20%3D%20m%5E2), 即
(m%2Bp%2B2q)%20%3D%20pq#card=math&code=%28m-p-2q%29%28m%2Bp%2B2q%29%20%3D%20pq). 由于
,
为素数, 且
,
, 所以
,
, 从而
, 即
(q-2)%20%3D%200#card=math&code=%28p-4%29%28q-2%29%20%3D%200), 所以
%20%3D%20(5%2C11)#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%20%285%2C11%29) 或
#card=math&code=%287%2C5%29). 所以满足条件的素数对
#card=math&code=%28p%2Cq%29) 的个数为
.
- 若实数
,
满足
,
%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B(1%2Bb)%5E2%7Da%20%3D%204#card=math&code=%5Cdfrac%7B%281-a%29%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B%281%2Bb%29%5E2%7Da%20%3D%204), 则
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
C.由条件
%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B(1%2Bb)%5E2%7Da%20%3D%204#card=math&code=%5Cdfrac%7B%281-a%29%5E2%7Db%20-%20%5Cdfrac%7B%281%2Bb%29%5E2%7Da%20%3D%204) 得
, 即
%20-%202%20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%204ab%20%5D%20%2B%20(a-b)%20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%200#card=math&code=%28a-b%29%20-%202%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%204ab%20%5D%20%2B%20%28a-b%29%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%200), 又
, 所以
, 解得
. 所以
%5E2%20%2B%202ab%20%3D%206#card=math&code=a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%3D%20%28a-b%29%5E2%20%2B%202ab%20%3D%206),
%20%5B%20(a-b)%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%2014#card=math&code=a%5E3%20-%20b%5E3%20%3D%20%28a-b%29%20%5B%20%28a-b%29%5E2%20%2B%203ab%20%5D%20%3D%2014),
%20(a%5E3%20-%20b%5E3)%20-%20a%5E2%20b%5E2%20(a-b)%20%3D%2082#card=math&code=a%5E5%20-%20b%5E5%20%3D%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%29%20%28a%5E3%20-%20b%5E3%29%20-%20a%5E2%20b%5E2%20%28a-b%29%20%3D%2082).
- 对任意的整数
, 定义
, 则使得
%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%2B%20(y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%2B%20(z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%3D%200#card=math&code=%28x%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%2B%20%28y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%2B%20%28z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%3D%200) 的整数组
#card=math&code=%28x%2Cy%2Cz%29) 的个数为
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
D.%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%0A%26%3D%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)%20%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%5C%5C%0A%26%3D%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)%20%2B%20z%20-%20(x%20%2B%20y%20-%20xy)z%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%28x%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%0A%26%3D%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29%20%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%20%5C%5C%0A%26%3D%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29%20%2B%20z%20-%20%28x%20%2B%20y%20-%20xy%29z%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 由对称性, 同样可得
%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%5C%5C%0A(z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x)%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%28y%20%5Cmathop%7B%40%7D%20z%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%5C%5C%0A%28z%20%5Cmathop%7B%40%7D%20x%29%20%5Cmathop%7B%40%7D%20y%20%26%3D%20x%20%2B%20y%20%2B%20z%20-%20xy%20-%20yz%20-%20xz%20%2B%20xyz%20%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以, 由已知可得
, 即
%20(y-1)%20(z-1)%20%3D%20-1#card=math&code=%28x-1%29%20%28y-1%29%20%28z-1%29%20%3D%20-1). 所以,
为整数时, 只能有以下几种情况:
所以,
%20%3D%20(2%2C2%2C0)#card=math&code=%28x%2Cy%2Cz%29%20%3D%20%282%2C2%2C0%29) 或
#card=math&code=%282%2C0%2C2%29) 或
#card=math&code=%280%2C2%2C2%29) 或
#card=math&code=%280%2C0%2C0%29), 共有
个符合要求的整数组.
- 设
, 则
的整数部分是
(____)
A.
B.
C.
D.>
答
B.因为
, 所以
. 又
%20%2B%20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7B2031%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2032%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3E%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Ctimes%2013%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Ctimes%2020%20%3D%20%5Cdfrac%7B1345%7D%7B83230%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AM%20%26%3D%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7B2018%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2019%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Cright%29%20%2B%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7B2031%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2032%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3E%20%5Cdfrac1%7B2030%7D%20%5Ctimes%2013%20%2B%20%5Cdfrac1%7B2050%7D%20%5Ctimes%2020%20%3D%20%5Cdfrac%7B1345%7D%7B83230%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以
. 故
的整数部分是
.
二、填空题
- 如图, 在平行四边形
中,
,
于
,
为
的中点, 若
, 则
________
.>
答
.
设
的中点为
, 连结
交
于
, 由题设条件知
为菱形. 由
及
为
的中点, 知
为
的中点. 又
, 所以
, 所以
垂直平分
, 故
. 所以
.
- 若实数
,
满足
%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14%20%28x%2By%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2), 则
的最大值为
________
.>答
.
由
%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14%20%28x%2By%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2) 可得
%20%5Cleft(%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=%28x%2By%29%20%5Cleft%28%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2). 令
, 注意到
%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3E%200#card=math&code=x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3D%20%5Cleft%28%20x%20-%20%5Cdfrac%20y2%20%5Cright%29%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20y%5E2%20%2B%20%5Cdfrac14%20%3E%200), 故
. 又因为
%20%5Cleft(%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20k%20%5Cleft(%20k%5E2%20-%203xy%20%2B%20%5Cdfrac14%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2#card=math&code=%28x%2By%29%20%5Cleft%28%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20%2B%20%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20k%20%5Cleft%28%20k%5E2%20-%203xy%20%2B%20%5Cdfrac14%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B15%7D2), 故
. 于是,
,
可以看做是关于
的一元二次方程
的两根, 所以
%5E2%20-%204%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bk%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14k%20-%20%5Cdfrac%7B15%7D2%7D%7B3k%7D%20%5Cge%200#card=math&code=%5CDelta%20%3D%20%28-k%29%5E2%20-%204%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7Bk%5E3%20%2B%20%5Cdfrac14k%20-%20%5Cdfrac%7B15%7D2%7D%7B3k%7D%20%5Cge%200), 化简得
, 即
%20(k%5E2%20%2B%203k%20%2B%2010)%20%5Cle%200#card=math&code=%28k-3%29%20%28k%5E2%20%2B%203k%20%2B%2010%29%20%5Cle%200), 所
. 故
的最大值是 3.
- 没有重复数字且不为
的倍数的五位数的个数为
________
.>答
.
显然首位数字不能为
, 末位不能为
和
. 当首位数字不为
时, 则首位只能选
,
之外的
个数. 相应的个位数字只能选
,
及万位数之外的
个数, 千位上只能选万位和个位之外的
个数, 百位上只能选剩下的
个数, 十位上只能选剩下的
个数. 所以, 此时满足条件的五位数的个数为
个. 当首位数字为
时, 则个位有
个数可选, 依次千位有
个数可选, 百位有
个数可选, 十位有
个数可选. 所以, 此时满足条件的五位数的个数为
个. 所以, 满足条件的五位数的个数为
(个).
- 已知实数
满足
,
, 则
________
.>答
.
由已知条件可得
%5E2%20-%20(a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2Bc%5E2)%20%5D%20%3D%20-%5Cdfrac12%20%5C%5C%0Aa%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%20%3D%203abc%0A%5Cend%7Bgathered%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Bgathered%7D%0Aab%2Bbc%2Bca%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5B%20%28a%2Bb%2Bc%29%5E2%20-%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2Bc%5E2%29%20%5D%20%3D%20-%5Cdfrac12%20%5C%5C%0Aa%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%20%3D%203abc%0A%5Cend%7Bgathered%7D%0A) 所以
%20(a%5E3%20%2B%20b%5E3%20%2B%20c%5E3)%20-%20%5Ba%5E2%20(b%5E3%20%2B%20c%5E3)%20%2B%20b%5E2%20(a%5E3%20%2B%20c%5E3)%20%2B%20c%5E2%20(a%5E3%20%2B%20b%5E3)%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20-%20%5Ba%5E2%20b%5E2%20(a%2Bb)%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20(b%2Bc)%5D%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20(a%2Bc)%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20%2B%20(a%5E2%20b%5E2%20c%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20a%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20b)%20%5C%5C%0A%26%3D%20abc%20(3%20%2B%20ab%20%2B%20bc%20%2B%20ac)%20%3D%20%5Cdfrac52%20abc%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa%5E5%20%2B%20b%5E5%20%2B%20c%5E5%0A%26%3D%20%28a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%20c%5E2%29%20%28a%5E3%20%2B%20b%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20-%20%5Ba%5E2%20%28b%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20%2B%20b%5E2%20%28a%5E3%20%2B%20c%5E3%29%20%2B%20c%5E2%20%28a%5E3%20%2B%20b%5E3%29%5D%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20-%20%5Ba%5E2%20b%5E2%20%28a%2Bb%29%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20%28b%2Bc%29%5D%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20%28a%2Bc%29%20%5C%5C%0A%26%3D%203abc%20%2B%20%28a%5E2%20b%5E2%20c%20%2B%20b%5E2%20c%5E2%20a%20%2B%20a%5E2%20c%5E2%20b%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20abc%20%283%20%2B%20ab%20%2B%20bc%20%2B%20ac%29%20%3D%20%5Cdfrac52%20abc%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 所以
.
第二试
- 设
为四个不同的实数, 若
为方程
的根,
为方程
的根, 求
的值.> 由韦达定理得
,
, 两式相加得
#card=math&code=a%2Bb%2Bc%2Bd%20%3D%2010%28a%2Bc%29).
因为
是方程
的根, 所以
. 又
, 所以
. 类似可得
, 两式相减得
(a%2Bc-121)%3D0#card=math&code=%28a-c%29%28a%2Bc-121%29%3D0). 因为
, 所以
, 所以
%20%3D%201210#card=math&code=a%2Bb%2Bc%2Bd%20%3D%2010%28a%2Bc%29%20%3D%201210).
- 如图, 在扇形
中,
,
, 点
在
上,
, 点
为
的中点, 点
为弧
上的动点,
与
的交点为
.
(1) 当四边形的面积
最大时, 求
;
(2) 求的最小值.
> (1) 分别过
作
的垂线, 垂足为
, 由
,
, 得
. 所以
%20%5C%5C%0A%26%20%5Cle%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20OE%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ctimes%2010%20%5Ctimes%2012%20%3D%2060%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AS%20%26%3D%20S%7B%5Ctriangle%20OCD%7D%20%2BS%7B%5Ctriangle%20ECD%7D%20%3D%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20%28OM%2BEN%29%20%5C%5C%0A%26%20%5Cle%20%5Cdfrac12%20CD%20%5Ccdot%20OE%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ctimes%2010%20%5Ctimes%2012%20%3D%2060%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 当
时,
取得最大值
, 此时
.
(2) 延长
至点
, 使
, 连结
,
. 因为
,
, 所以
, 所以
, 故
. 所以
, 当
三点共线时等号成立. 故
的最小值为
.
- 求所有的正整数
, 使得
%5E2%7D#card=math&code=%5Cdfrac%7Bm%5E3%20%2B%20n%5E3%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D) 是非负整数.> 记
%5E2%7D#card=math&code=S%20%3D%20%5Cdfrac%7Bm%5E3%20%2B%20n%5E3%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D), 则
%20%5B(m%2Bn)%5E2%20-%203mn%5D%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B(m%2Bn)%5E2%7D%20%3D%20(m%2Bn)%20-%20%5Cdfrac%7B3mn%7D%7Bm%2Bn%7D%20-%20%5Cleft(%20%5Cdfrac%7Bmn%7D%7Bm%2Bn%7D%20%5Cright)%5E2%0A#card=math&code=S%20%3D%20%5Cdfrac%7B%28m%20%2B%20n%29%20%5B%28m%2Bn%29%5E2%20-%203mn%5D%20-%20m%5E2%20n%5E2%7D%7B%28m%2Bn%29%5E2%7D%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3mn%7D%7Bm%2Bn%7D%20-%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac%7Bmn%7D%7Bm%2Bn%7D%20%5Cright%29%5E2%0A) 因为
为正整数, 故可令
, 其中
为正整数, 且
%20%3D%201#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%201). 于是
%20-%20%5Cdfrac%7B3q%7Dp%20-%20%5Cdfrac%7Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D%20%3D%20(m%2Bn)%20-%20%5Cdfrac%7B3pq%2Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D#card=math&code=S%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3q%7Dp%20-%20%5Cdfrac%7Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D%20%3D%20%28m%2Bn%29%20-%20%5Cdfrac%7B3pq%2Bq%5E2%7D%7Bp%5E2%7D). 因为
是非负整数, 所以
, 又
%20%3D%201#card=math&code=%28p%2Cq%29%20%3D%201), 故
, 即
%20%5Cmid%20mn#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20mn). 又
%20%5Cmid%20(mn%20%2B%20n%5E2)#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20%28mn%20%2B%20n%5E2%29), 因此
%20%5Cmid%20n%5E2#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20n%5E2), 故
,
. 又由
知
. 所以
%20%5Cge%20m%5E2%20n#card=math&code=n%5E3%20%5Cge%20m%5E2%20%28n%5E2%20-%20m%29%20%5Cge%20m%5E2%20n), 所以
. 由对称性, 同理可得
, 故
. 于是由
%20%5Cmid%20mn#card=math&code=%28m%2Bn%29%20%5Cmid%20mn) 可得
, 则
. 又由
可得
, 解得
. 故
. 同理
. 所以, 满足条件的正整数
为
,
.