图片缺失答案未去除

第一试

一、选择题

1. 满足 %5E%7Bx%2B2%7D%20%3D%201#card=math&code=%28x%5E2%20%2B%20x%20-%201%29%5E%7Bx%2B2%7D%20%3D%201) 的整数 的个数为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 C.

   当 且 时, . 当 时, 或 . 当 且 为偶数时, . 所以, 满足条件的整数 有 个.

1. 已知 () 为关于 的方程 x%20-%20a%20%3D%200#card=math&code=x%5E3%20-%203x%5E2%20%2B%20%28a%2B2%29x%20-%20a%20%3D%200) 的三个跟, 则 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 A.

   方程即 %20(x%5E2%20-%202x%20%2B%20a)%20%3D%200#card=math&code=%28x-1%29%20%28x%5E2%20-%202x%20%2B%20a%29%20%3D%200), 它的一个实根为 , 另外两个实根之和为 , 其中必有一根小于 , 另一根大于 , 于是 , , 故 %20(x_3%20-%20x_1)%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%5C%5C%0A%26%3D%202(x_3%20-%20x_1)%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%3D%202(x_3%20%2B%20x_1)%20%2B%201%20%3D%205%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A4%20x_1%20-%20x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%2B%20x_3%5E2%0A%26%3D%20%28x_3%20%2B%20x_1%29%20%28x_3%20-%20x_1%29%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%5C%5C%0A%26%3D%202%28x_3%20-%20x_1%29%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%3D%202%28x_3%20%2B%20x_1%29%20%2B%201%20%3D%205%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A)

1. 已知点 , 分别在正方形 的边 , 上, , , 则 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 B.

   不妨设 , 则 , . 设 , 则 , . 作 于点 . 因为 , , 公共, 所以 , 所以 . 由 得 %20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bx%5E2%20%2B%209%7D%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%20x%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%201%0A#card=math&code=4%5E2%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%284-x%29%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bx%5E2%20%2B%209%7D%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%20x%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%201%0A) 解得 . 所以 , .

1. 方程 的实数根的个数为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 B.

   令 , 则 , 且 , 原方程变为 , 解得 或 , 从而可得 或 . 检验可知 是增根, 舍去; 是原方程的实数根. 所以, 原方程只有 个实数根.

1. 设 为三个实数, 它们中任何一个数加上其余两数之积的 倍都等于 , 则这样的三元数组 #card=math&code=%28a%2Cb%2Cc%29) 的个数为 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 由已知得, , , , 两两作差可得 (1-2017c)%20%3D%200#card=math&code=%28a-b%29%281-2017c%29%20%3D%200), %20(1-2017a)%20%3D%200#card=math&code=%28b-c%29%20%281-2017a%29%20%3D%200), %20(1-2017b)%20%3D%200#card=math&code=%28c-a%29%20%281-2017b%29%20%3D%200).

   (1) 当 时, 有 , 解得 或 ; (2) 当 时, 解得 , ; (3) 当 时, , 此时有: , , 或 , . 故这样的三元数组 #card=math&code=%28a%2Cb%2Cc%29) 共有 个.

1. 已知实数 满足 , , 则 (____)
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 A.

   由已知条件可得 %5E3%20%2B%202(a-1)%20%3D%20-2#card=math&code=%28a-1%29%5E3%20%2B%202%28a-1%29%20%3D%20-2), %5E3%20%2B%202(b-1)%20%3D%202#card=math&code=%28b-1%29%5E3%20%2B%202%28b-1%29%20%3D%202), 两式相加得 %5E3%20%2B%202(a-1)%20%2B%20(b-1)%5E3%20%2B%202(b-1)%20%3D%200%0A#card=math&code=%28a-1%29%5E3%20%2B%202%28a-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E3%20%2B%202%28b-1%29%20%3D%200%0A) 因式分解得 %20%5B(a-1)%5E2%20-%20(a-1)%20(b-1)%20%2B%20(b-1)%5E2%20%2B2%5D%20%3D%200#card=math&code=%28a%2Bb-2%29%20%5B%28a-1%29%5E2%20-%20%28a-1%29%20%28b-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E2%20%2B2%5D%20%3D%200). 因为 %5E2%20-%20(a-1)%20(b-1)%20%2B%20(b-1)%5E2%20%2B2%20%3D%20%5Cleft%5B%20(a-1)%20-%20%5Cdfrac12%20(b-1)%20%5Cright%5D%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20(b-1)%5E2%20%2B%202%20%3E%200%0A#card=math&code=%28a-1%29%5E2%20-%20%28a-1%29%20%28b-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E2%20%2B2%20%3D%20%5Cleft%5B%20%28a-1%29%20-%20%5Cdfrac12%20%28b-1%29%20%5Cright%5D%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20%28b-1%29%5E2%20%2B%202%20%3E%200%0A) 所以 , 因此 .

二、填空题

1. 已知 为素数, 且 整除 , 则 ________.> 答 .

   由题意, 是正整数, 又 , 所以 , 从而 , 即有 . 不妨设 , 则 , 故 , 只能是 . 于是 , 变形可得 %20(r-2)%20%3D%203#card=math&code=%28q-2%29%20%28r-2%29%20%3D%203), 所以 , , 故 , . 所以, .

1. 已知两个正整数的和比它们的积小 , 若其中较大的数是完全平方数, 则较小的数为 ________.> 答 .

   设这两个数为 (), 则 , 即 (n-1)%20%3D%201001#card=math&code=%28m%5E2-1%29%28n-1%29%20%3D%201001). 又 , 经验证只能是 , . 所以, 较小的数是 .

1. 已知 是 内一点, 是 的中点, , , , , 则 ________.> 答 .

   延长 至 , 使 , 则 且 , 所以 , 故 四点共圆, 于是 , 所以 , 且 , 故 . 又 , 故 , 所以 .

1. 已知二次函数 %20x%20%2B%20(m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B50)#card=math&code=y%20%3D%20x%5E2%20%2B%202%20%28m%2B2n%2B1%29%20x%20%2B%20%28m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B50%29) 的图像在 轴的上方, 则满足条件的正整数对 #card=math&code=%28m%2Cn%29) 的个数为 ________.> 答 .

   因为二次函数的图像在 轴的上方, 所以 %5D%5E2%20-%204%20(m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B%2050)%20%3C%200#card=math&code=%5CDelta%20%3D%20%5B2%20%28m%2B2n%2B1%29%5D%5E2%20-%204%20%28m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B%2050%29%20%3C%200), 整理得 , 即 (2n%2B1)%20%3C%20%5Cdfrac%7B51%7D2#card=math&code=%28m%2B1%29%282n%2B1%29%20%3C%20%5Cdfrac%7B51%7D2). 因为 都是正整数, 所 (2n%2B1)%20%5Cle%2025#card=math&code=%28m%2B1%29%282n%2B1%29%20%5Cle%2025). 又 , 所以 , 故 . 当 时, , , 符合条件的正整数对 #card=math&code=%28m%2Cn%29) 有 个. 类似的可以计算出: 时符合条件的有 个; 时有 个; 和 时各有一个. 综上可知, 符合条件的正整数对 #card=math&code=%28m%2Cn%29) 共有 个.

第二试

1. 若实数 满足 %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac95#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac95), 求 %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright)#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright%29) 的值.> 记 , , , 则

   %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Bx-6a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6b%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6c%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7Bx%20%5B%203x%5E2%20-%2012(a%2Bb%2Bc)%20x%20%2B%2036(ab%2Bbc%2Bca)%5D%7D%7Bx%5E3%20-%206(a%2Bb%2Bc)x%5E2%20%2B36(ab%2Bbc%2Bca)x%20-%20216abc%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7B5%20(-9x%5E2%20%2B%2036y)%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cphantom%7B%3D%7B%7D%7D%20%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Bx-6a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6b%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6c%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7Bx%20%5B%203x%5E2%20-%2012%28a%2Bb%2Bc%29%20x%20%2B%2036%28ab%2Bbc%2Bca%29%5D%7D%7Bx%5E3%20-%206%28a%2Bb%2Bc%29x%5E2%20%2B36%28ab%2Bbc%2Bca%29x%20-%20216abc%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7B5%20%28-9x%5E2%20%2B%2036y%29%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 结合已知条件, %7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%20%3D%20%5Cdfrac95#card=math&code=%5Cdfrac%7B5%20%28-9x%5E2%20%2B%2036y%29%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%20%3D%20%5Cdfrac95), 整理得 . 所以 %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7Bxy%7Dz%20%3D%20%5Cdfrac%7B27%7D2%0A#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7Bxy%7Dz%20%3D%20%5Cdfrac%7B27%7D2%0A)

1. 如图, 点 在四边形 的边 上, 和 都是等腰直角三角形, , .
   (1) 证明: ;
   (2) 设 与 交于点 , 如果 , 求 .
   > (1) 由题意知 , , , 所以 , , 所以 , 故 , 所以 , 所以 .

   (2) 设 , 因为 , 可得 , , . 因为 , , 所以 , 故可得 . 又 , , 于是可得 x%5E2#card=math&code=S%7B%5Ctriangle%20DPC%7D%20%3D%20%282-%5Csqrt3%29x%5E2), %20x%5E2#card=math&code=S%7B%5Ctriangle%20EPC%7D%20%3D%20%28%5Csqrt3%20-%201%29%20x%5E2). 所以 .

1. 设 是一个四位数, 的各位数字之和为 , 的各位数字之和为 , 并且 与 的最大公约数是一个大于 的素数, 求 .> 设 , 由题设知 与 的最大公约数 #card=math&code=%28m%2Cn%29) 为大于 的素数.

   若 , 则 , 所以 %3D1#card=math&code=%28m%2Cn%29%3D1), 矛盾, 故 . 若 , 则 , 故 %20%3D%20(m%2C8)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C8%29), 它不可能是大于 的素数, 矛盾, 故 . 若 , 则 , 故 %20%3D%20(m%2C17)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C17%29), 它是大于 的素数, 那么只能是 , 于是必须有 , . 满足条件的四位数有 和 . 若 , 必有 , 否则 , , , 因而 %20%3D%201#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%201), 矛盾. 于是 , 故 %20%3D%20(m%2C%2026)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C%2026%29), 它是大于 的素数, 那么只能是 , 于是 , , 不可能是四位数的各位数字之和. 综上所述, 或 .