图片缺失公式不完整

第一试

一、选择题

1. 已知实数 满足 , , 则 的值为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D.> 答 B.

   已知等式可变形为 %2B3%20%5Cleft(%203b%2Bc%20%5Cright)%3D90#card=math&code=2%20%5Cleft%28%20a%2B2b%20%5Cright%29%2B3%20%5Cleft%28%203b%2Bc%20%5Cright%29%3D90), %2B%5Cleft(%203b%2Bc%20%5Cright)%3D72#card=math&code=3%5Cleft%20%28%20a%2B2b%20%5Cright%29%2B%5Cleft%28%203b%2Bc%20%5Cright%29%3D72), 解得 , , 所以 .

1. 已知 的三边长分别是 , 有以下三个结论:
   (1) 以 为边长的三角形一定存在;
   (2) 以 为边长的三角形一定存在;
   (3) 以 为边长的三角形一定存在.
   其中正确结论的个数为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 C.

   不妨设, 且. (1) , , , 故以 为边长的三角形一定存在. (2) 以 , , 为边长构造三角形, 但 , , 为边长的三角形不存在. (3) %2B%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20b-c%20%5Cright%7C%2B1%20%5Cright)%0A%26%3D%5Cleft(%20a-b%2B1%20%5Cright)%2B%5Cleft(%20b-c%2B1%20%5Cright)%5C%5C%0A%26%3Da-c%2B2%3Ea-c%2B1%3D%5Cleft%7C%20c-a%20%5Cright%7C%2B1%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cleft%28%20%5Cleft%7C%20a-b%20%5Cright%7C%2B1%20%5Cright%29%2B%5Cleft%28%20%5Cleft%7C%20b-c%20%5Cright%7C%2B1%20%5Cright%29%0A%26%3D%5Cleft%28%20a-b%2B1%20%5Cright%29%2B%5Cleft%28%20b-c%2B1%20%5Cright%29%5C%5C%0A%26%3Da-c%2B2%3Ea-c%2B1%3D%5Cleft%7C%20c-a%20%5Cright%7C%2B1%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 故以为边长的三角形一定存在.

1. 若正整数 满足 且 #card=math&code=abc%3D2%5Cleft%28%20a%2Bb%2Bc%20%5Cright%29), 则称 #card=math&code=%5Cleft%28%20a%2Cb%2Cc%20%5Cright%29) 为好数组. 那么好数组的个数为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 C.

   若 #card=math&code=%5Cleft%28%20a%2Cb%2Cc%20%5Cright%29) 为好数组, 则 %5Cle%206c#card=math&code=abc%3D2%5Cleft%28%20a%2Bb%2Bc%20%5Cright%29%5Cle%206c), 即 , 显然 或 .
   若 , 则 #card=math&code=bc%3D2%5Cleft%28%201%2Bb%2Bc%20%5Cright%29), 即%5Cleft(%20c-2%20%5Cright)%3D6#card=math&code=%5Cleft%28%20b-2%20%5Cright%29%5Cleft%28%20c-2%20%5Cright%29%3D6), 可得 %3D%5Cleft(%201%2C3%2C8%20%5Cright)#card=math&code=%5Cleft%28%20a%2Cb%2Cc%20%5Cright%29%3D%5Cleft%28%201%2C3%2C8%20%5Cright%29) 或 #card=math&code=%5Cleft%28%201%2C4%2C5%20%5Cright%29), 共 个好数组.
   若 , 则 或 . 时 ; 时 , 不是整数舍去. 共 个好数组.
   共 个好数组 %3D%5Cleft(%201%2C3%2C8%20%5Cright)#card=math&code=%5Cleft%28%20a%2Cb%2Cc%20%5Cright%29%3D%5Cleft%28%201%2C3%2C8%20%5Cright%29), #card=math&code=%5Cleft%28%201%2C4%2C5%20%5Cright%29), #card=math&code=%5Cleft%28%202%2C2%2C4%20%5Cright%29).

1. 设 是四边形 的对角线 , 的交点, 若 , 且, , , , 则 的值为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D.
   > 答 A.

   过 作 交 的延长线于点 , 则 , 所以
   , 所以 , 所以 . 再由 , 可得.

1. 设 是以 为直径的圆上的一点, 于点 , 点 在线段 上, 点 在 的延长线上, 满足 . 已知 , , , 则 的值为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D.
   > 答 B.

   , , $\therefore \angle FAE=\angle BAC=90{}^\circ $.
   , . 而 , , 所以 , 得 , , .

1. 对于正整数 , 设 是最接近 的整数, 则 的值为 ( )
   A.
   B.
   C.
   D. > 答 A.

   设 是最接近 的整数, 当 时, 所以使得 的正整数 的个数为 . 由 , 可知 中有: 个 , 个 , , 个, 个 . 则

二、填空题

1. 使得等式 成立的实数 的值为 ________.> 答 .

   易得 %5E%7B3%7D%3D%7Ba%7D%5E%7B2%7D#card=math&code=%5Cleft%28%201%2B%5Csqrt%7B1%2Ba%7D%20%5Cright%29%5E%7B3%7D%3D%7Ba%7D%5E%7B2%7D). 令 , 则 , 代入整理可得 %7B%7B%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%3D0#card=math&code=x%5Cleft%28%20x-3%20%5Cright%29%7B%7B%5Cleft%28%20x%2B1%20%5Cright%29%7D%5E%7B2%7D%7D%3D0), 解得 , , , 舍负, 即 或 , 验证可得 .

1. 如图, 平行四边形 中, $\angle ABC=72{}^\circ $, 于点 , 交 于点 . 若 , 则 ________.
   
   > 答 $66{}^\circ $.

   取 中点 , 在 中, 有 . 设 , 则 $\angle AME=180{}^\circ -2\alpha $, $\angle ABM=\alpha -18{}^\circ $. 又, 解得 $\alpha =66{}^\circ $.

1. 设 是正整数, 且 . 若 与 的末两位数字相同, 则 的最小值为 ________.> 答 .

   #card=math&code=%7B%7B9%7D%5E%7Bm%7D%7D-%7B%7B9%7D%5E%7Bn%7D%7D%3D%7B%7B9%7D%5E%7Bn%7D%7D%5Ccdot%20%28%7B%7B9%7D%5E%7Bm-n%7D%7D-1%29) 是 的倍数, 所以 是 的倍数, 即 的末两位数字是 . 经计算可知: 的末两位数字是 , 即 的最小值为 .

1. 若实数 满足 , 则 的最小值为 ________.> 答 .

   %5Cleft%5B%20%7B%7B%5Cleft(%20x-y%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft(%20y%2B1%20%5Cright)%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%3D0#card=math&code=%7B%7Bx%7D%5E%7B3%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B3%7D%7D%2B3xy-1%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28%20x%2By-1%20%5Cright%29%5Cleft%5B%20%7B%7B%5Cleft%28%20x-y%20%5Cright%29%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft%28%20x%2B1%20%5Cright%29%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7B%5Cleft%28%20y%2B1%20%5Cright%29%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%3D0). 若, 则. 若, 则%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D#card=math&code=%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cge%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7B%7B%5Cleft%28%20x%2By%20%5Cright%29%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D). 则的最小值为.

第二试

1. 已知实数满足求 满足 , , 求 的值.> 答 .

   设 , 由, , 计算可得 或 . 由 %7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%7D%7B4%7D#card=math&code=xy%5Cle%20%5Cdfrac%7B%7B%7B%5Cleft%28%20x%2By%20%5Cright%29%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%7D%7B4%7D), 即 , 则 . %5Cleft(%20%7B%7Bx%7D%5E%7B3%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B3%7D%7D%20%5Cright)-%5Cleft(%20x%2By%20%5Cright)%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%3D123#card=math&code=%7B%7Bx%7D%5E%7B5%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B5%7D%7D%3D%5Cleft%28%20%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright%29%5Cleft%28%20%7B%7Bx%7D%5E%7B3%7D%7D%2B%7B%7By%7D%5E%7B3%7D%7D%20%5Cright%29-%5Cleft%28%20x%2By%20%5Cright%29%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%7By%7D%5E%7B2%7D%7D%3D123).

1. 如图, 中, , $\angle BAC=45{}^\circ $, 是 的外角平分线与 的外接圆的交点, 点 在 上且 . 已知 , , 求 的面积.
   
   > 答 .

   在 上取点 使 , 连接 并延长交 的外接圆于点 . 由 , , 可知 是等腰三角形, 所以 , 即 , , . 又 , , . 的 边上的高 . 的面积 .

1. 求所有的正整数数对 #card=math&code=%5Cleft%28%20a%2Cb%20%5Cright%29), 使得 .> 答 #card=math&code=%5Cleft%28%2011%2C3%20%5Cright%29).

   显然 是奇数, , . 由 得 , 即 %5Cleft(%20%7B%7Ba%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%2B2a%2B4%20%5Cright)%3D%7B%7B%5Ctext%7B7%7D%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%5Ctimes%20%7B%7B3%7D%5E%7Bb%7D%7D#card=math&code=%5Cleft%28%20a-2%20%5Cright%29%5Cleft%28%20%7B%7Ba%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%2B2a%2B4%20%5Cright%29%3D%7B%7B%5Ctext%7B7%7D%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%5Ctimes%20%7B%7B3%7D%5E%7Bb%7D%7D). 设 %3Dd#card=math&code=%5Cleft%28%20a-2%2C%7B%7Ba%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%2B2a%2B4%20%5Cright%29%3Dd), 则 为奇数. 又 (a%2B4)%5Ctext%7B%2B12%7D#card=math&code=%7B%7Ba%7D%5E%7B%5Ctext%7B2%7D%7D%7D%2B2a%2B4%3D%28a-2%29%28a%2B4%29%5Ctext%7B%2B12%7D), 所以 , 即 或 . 若 , 则有 均无正整数解. 若 , 则有 解得 , . 满足条件的正整数数对只有一个, 为#card=math&code=%5Cleft%28%2011%2C3%20%5Cright%29).