2009 全国高中数学联赛

1. 若函数 , 且 . 则 ________.> tags 函数 函数迭代

答案

1. 已知直线 和 , 点 在 上, 为 上的两点. 在 中, , 过圆心 . 则点 的横坐标范围为 ________.> tags 解析几何

答案

1. 在坐标平面上有两个区域 , 为 , 是随 变化的区域, 它由不等式 所确定, 的取值范围是 . 则 和 的公共部分的面积是函数 ________.> tags 函数

答案

1. 使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 ________.> tags 不等式 数列

答案

1. 椭圆 () 上任意两点 , 若 , 则 的最小值为 ________.> tags 解析几何

答案

1. 若方程 #card=math&code=%5Clg%20kx%20%3D%202%20%5Clg%20%28x%2B1%29) 仅有一个实数根, 则 的取值范围是 ________.> tags 函数

答案 %20%5Ccup%20%5C%7B4%5C%7D#card=math&code=%28-%5Cinfty%2C0%29%20%5Ccup%20%5C%7B4%5C%7D)

1. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上两个数字之和, 最后一行仅有一个数, 第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行. 则最后一行的数是 ________ (可以用指数表示).> tags 组合计数

答案

1. 某车站每天早上 8:00-9:00, 9:00-10:00 都恰好有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间是相互独立的, 其规律见表.
   一旅客 8:20 到站. 则他候车时间的数学期望为 ________ (精确到分).> tags 概率

答案

1. 设直线 () 与椭圆 交于不同的两点 , 与双曲线 交于不同的两点 . 问: 是否存在直线 , 使得向量 ? 若存在, 指出这样的直线有多少条; 若不存在, 请说明理由.> tags 解析几何

答案 存在，共 9 条.

1. 已知 () 是实数, 方程 有两个实根 , 数列 满足 , , ().
   1. 求数列 的通项公式 (用 表示);
   2. 若 , 求 的前 项和.

      tags 数列

答案

1. 时, %20%5Calpha%5En#card=math&code=a_n%20%3D%20%281%2Bn%29%20%5Calpha%5En); 时, ;
2. .

1. 求函数 的最大值和最小值.> tags 函数 范围和最值问题 不等式

答案 , .

1. 如图, 分别为锐角 () 的外接圆圆 上弧 的中点. 过点 作 交圆 于点 , 为 的内心, 联结 并延长交圆 于点 . 求证:
   todo: 画图
   1. ;
   2. 2 在弧 (不含点 ) 上任取一点 (), 记 的内心分别为 , 则 四点共圆.

      tags 平面几何

答案

1. 求证: 不等式 ().> tags 不等式 数列

答案

1. 设 是给定的两个正整数. 证明: 有无穷多个正整数 (), 使得 与 互质.> tags 数论

答案

1. 在非负数构成的 数表
   中, 每行的数互不相同, 前六列中每列的三数之和为 1, , 均大于 1. 如果 的前三列构成的数表
   满足下面的性质 (O): 对于数表中的任意一列 (), 均存在某个 使得
   求证:
   1. 最小值 () 一定取自数表 的不同列;
   2. 存在数表 中唯一的一列 () 使得 数表 仍然具有性质 (O).

组合数学