图片缺失

第一试

一、选择题

满足 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图1$ %5E%7Bx%2B2%7D%20%3D%201#card=math&code=%28x%5E2%20%2B%20x%20-%201%29%5E%7Bx%2B2%7D%20%3D%201) 的整数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图2$ 的个数为 (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图3$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图4$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图5$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图6$ > 答 C.

当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图7$ 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图8$ 时, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图9$ . 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图10$ 时, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图11$ 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图12$ . 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图13$ 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图14$ 为偶数时, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图15$ . 所以, 满足条件的整数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图16$ 有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图17$ 个.

已知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图18$ ( $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图19$ ) 为关于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图20$ 的方程 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图21$ x%20-%20a%20%3D%200#card=math&code=x%5E3%20-%203x%5E2%20%2B%20%28a%2B2%29x%20-%20a%20%3D%200) 的三个跟, 则 (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图23$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图24$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图25$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图26$ > 答 A.

方程即 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图27$ %20(x%5E2%20-%202x%20%2B%20a)%20%3D%200#card=math&code=%28x-1%29%20%28x%5E2%20-%202x%20%2B%20a%29%20%3D%200), 它的一个实根为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图28$ , 另外两个实根之和为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图29$ , 其中必有一根小于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图30$ , 另一根大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图31$ , 于是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图32$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图33$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图34$ %20(x_3%20-%20x_1)%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%5C%5C%0A%26%3D%202(x_3%20-%20x_1)%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%3D%202(x_3%20%2B%20x_1)%20%2B%201%20%3D%205%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A4%20x_1%20-%20x_1%5E2%20%2B%20x_2%5E2%20%2B%20x_3%5E2%0A%26%3D%20%28x_3%20%2B%20x_1%29%20%28x_3%20-%20x_1%29%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%5C%5C%0A%26%3D%202%28x_3%20-%20x_1%29%20%2B%204%20x_1%20%2B%201%20%3D%202%28x_3%20%2B%20x_1%29%20%2B%201%20%3D%205%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A)

已知点 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图35$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图36$ 分别在正方形 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图37$ 的边 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图38$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图39$ 上, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图40$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图41$ , 则 (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图43$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图44$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图45$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图46$ > 答 B.

不妨设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图47$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图48$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图49$ . 设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图50$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图51$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图52$ . 作 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图53$ 于点 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图54$ . 因为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图55$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图56$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图57$ 公共, 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图58$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图59$ . 由 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图60$ 得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图61$ %20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bx%5E2%20%2B%209%7D%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%20x%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%201%0A#card=math&code=4%5E2%20%3D%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%284-x%29%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7Bx%5E2%20%2B%209%7D%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%20x%20%2B%20%5Cdfrac12%20%5Ccdot%204%20%5Ccdot%201%0A) 解得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图62$ . 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图63$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图64$ .

方程 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图66$ 的实数根的个数为 (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图67$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图68$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图69$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图70$ > 答 B.

令 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图71$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图72$ , 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图73$ , 原方程变为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图74$ , 解得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图75$ 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图76$ , 从而可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图77$ 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图78$ . 检验可知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图79$ 是增根, 舍去; $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图80$ 是原方程的实数根. 所以, 原方程只有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图81$ 个实数根.

设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图82$ 为三个实数, 它们中任何一个数加上其余两数之积的 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图83$ 倍都等于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图84$ , 则这样的三元数组 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图85$ #card=math&code=%28a%2Cb%2Cc%29) 的个数为 (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图86$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图87$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图88$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图89$ > 由已知得, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图90$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图91$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图92$ , 两两作差可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图93$ (1-2017c)%20%3D%200#card=math&code=%28a-b%29%281-2017c%29%20%3D%200), $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图94$ %20(1-2017a)%20%3D%200#card=math&code=%28b-c%29%20%281-2017a%29%20%3D%200), $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图95$ %20(1-2017b)%20%3D%200#card=math&code=%28c-a%29%20%281-2017b%29%20%3D%200).

(1) 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图96$ 时, 有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图97$ , 解得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图98$ 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图99$ ; (2) 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图100$ 时, 解得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图101$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图102$ ; (3) 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图103$ 时, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图104$ , 此时有: $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图105$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图106$ , 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图107$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图108$ . 故这样的三元数组 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图109$ #card=math&code=%28a%2Cb%2Cc%29) 共有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图110$ 个.

已知实数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图111$ 满足 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图112$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图113$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图114$ (____)
A. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图115$
B. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图116$
C. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图117$
D. $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图118$ > 答 A.

由已知条件可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图119$ %5E3%20%2B%202(a-1)%20%3D%20-2#card=math&code=%28a-1%29%5E3%20%2B%202%28a-1%29%20%3D%20-2), $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图120$ %5E3%20%2B%202(b-1)%20%3D%202#card=math&code=%28b-1%29%5E3%20%2B%202%28b-1%29%20%3D%202), 两式相加得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图121$ %5E3%20%2B%202(a-1)%20%2B%20(b-1)%5E3%20%2B%202(b-1)%20%3D%200%0A#card=math&code=%28a-1%29%5E3%20%2B%202%28a-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E3%20%2B%202%28b-1%29%20%3D%200%0A) 因式分解得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图122$ %20%5B(a-1)%5E2%20-%20(a-1)%20(b-1)%20%2B%20(b-1)%5E2%20%2B2%5D%20%3D%200#card=math&code=%28a%2Bb-2%29%20%5B%28a-1%29%5E2%20-%20%28a-1%29%20%28b-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E2%20%2B2%5D%20%3D%200). 因为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图123$ %5E2%20-%20(a-1)%20(b-1)%20%2B%20(b-1)%5E2%20%2B2%20%3D%20%5Cleft%5B%20(a-1)%20-%20%5Cdfrac12%20(b-1)%20%5Cright%5D%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20(b-1)%5E2%20%2B%202%20%3E%200%0A#card=math&code=%28a-1%29%5E2%20-%20%28a-1%29%20%28b-1%29%20%2B%20%28b-1%29%5E2%20%2B2%20%3D%20%5Cleft%5B%20%28a-1%29%20-%20%5Cdfrac12%20%28b-1%29%20%5Cright%5D%5E2%20%2B%20%5Cdfrac34%20%28b-1%29%5E2%20%2B%202%20%3E%200%0A) 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图124$ , 因此 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图125$ .

二、填空题

已知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图126$ 为素数, 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图127$ 整除 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图128$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图129$ ________.> 答 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图130$ .

由题意, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图131$ 是正整数, 又 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图132$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图133$ , 从而 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图134$ , 即有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图135$ . 不妨设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图136$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图137$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图138$ , 只能是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图139$ . 于是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图140$ , 变形可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图141$ %20(r-2)%20%3D%203#card=math&code=%28q-2%29%20%28r-2%29%20%3D%203), 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图142$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图143$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图144$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图145$ . 所以, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图146$ .

已知两个正整数的和比它们的积小 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图147$ , 若其中较大的数是完全平方数, 则较小的数为 ________.> 答 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图148$ .

设这两个数为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图149$ ( $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图150$ ), 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图151$ , 即 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图152$ (n-1)%20%3D%201001#card=math&code=%28m%5E2-1%29%28n-1%29%20%3D%201001). 又 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图153$ , 经验证只能是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图154$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图155$ . 所以, 较小的数是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图156$ .

已知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图157$ 是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图158$ 内一点, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图159$ 是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图160$ 的中点, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图161$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图162$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图163$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图164$ , 则 ________.> 答 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图166$ .

延长 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图167$ 至 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图168$ , 使 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图169$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图170$ 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图171$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图172$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图173$ 四点共圆, 于是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图174$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图175$ , 且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图176$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图177$ . 又 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图178$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图179$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图180$ .

已知二次函数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图182$ %20x%20%2B%20(m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B50)#card=math&code=y%20%3D%20x%5E2%20%2B%202%20%28m%2B2n%2B1%29%20x%20%2B%20%28m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B50%29) 的图像在 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图183$ 轴的上方, 则满足条件的正整数对 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图184$ #card=math&code=%28m%2Cn%29) 的个数为 ________.> 答 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图185$ .

因为二次函数的图像在 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图186$ 轴的上方, 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图187$ %5D%5E2%20-%204%20(m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B%2050)%20%3C%200#card=math&code=%5CDelta%20%3D%20%5B2%20%28m%2B2n%2B1%29%5D%5E2%20-%204%20%28m%5E2%20%2B%204n%5E2%20%2B%2050%29%20%3C%200), 整理得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图188$ , 即 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图189$ (2n%2B1)%20%3C%20%5Cdfrac%7B51%7D2#card=math&code=%28m%2B1%29%282n%2B1%29%20%3C%20%5Cdfrac%7B51%7D2). 因为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图190$ 都是正整数, 所 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图191$ (2n%2B1)%20%5Cle%2025#card=math&code=%28m%2B1%29%282n%2B1%29%20%5Cle%2025). 又 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图192$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图193$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图194$ . 当 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图195$ 时, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图196$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图197$ , 符合条件的正整数对 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图198$ #card=math&code=%28m%2Cn%29) 有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图199$ 个. 类似的可以计算出: $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图200$ 时符合条件的有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图201$ 个; $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图202$ 时有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图203$ 个; $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图204$ 和 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图205$ 时各有一个. 综上可知, 符合条件的正整数对 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图206$ #card=math&code=%28m%2Cn%29) 共有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图207$ 个.

第二试

若实数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图208$ 满足 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图209$ %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac95#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac95), 求 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图210$ %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright)#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright%29) 的值.> 记 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图211$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图212$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图213$ , 则

$2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图214$ %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%5Cleft(%20%5Cdfrac1%7Bx-6a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6b%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6c%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7Bx%20%5B%203x%5E2%20-%2012(a%2Bb%2Bc)%20x%20%2B%2036(ab%2Bbc%2Bca)%5D%7D%7Bx%5E3%20-%206(a%2Bb%2Bc)x%5E2%20%2B36(ab%2Bbc%2Bca)x%20-%20216abc%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7B5%20(-9x%5E2%20%2B%2036y)%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cphantom%7B%3D%7B%7D%7D%20%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Ba%2Bb-5c%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bb%2Bc-5a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bc%2Ba-5b%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20x%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1%7Bx-6a%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6b%7D%20%2B%20%5Cdfrac1%7Bx-6c%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7Bx%20%5B%203x%5E2%20-%2012%28a%2Bb%2Bc%29%20x%20%2B%2036%28ab%2Bbc%2Bca%29%5D%7D%7Bx%5E3%20-%206%28a%2Bb%2Bc%29x%5E2%20%2B36%28ab%2Bbc%2Bca%29x%20-%20216abc%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cdfrac%7B5%20%28-9x%5E2%20%2B%2036y%29%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A) 结合已知条件, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图215$ %7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%20%3D%20%5Cdfrac95#card=math&code=%5Cdfrac%7B5%20%28-9x%5E2%20%2B%2036y%29%7D%7B-5x%5E3%20%2B%2036xy%20-%20216z%7D%20%3D%20%5Cdfrac95), 整理得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图216$ . 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图217$ %20%5Cleft(%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright)%20%3D%20%5Cdfrac%7Bxy%7Dz%20%3D%20%5Cdfrac%7B27%7D2%0A#card=math&code=%28a%2Bb%2Bc%29%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac1a%20%2B%20%5Cdfrac1b%20%2B%20%5Cdfrac1c%20%5Cright%29%20%3D%20%5Cdfrac%7Bxy%7Dz%20%3D%20%5Cdfrac%7B27%7D2%0A)

如图, 点 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图218$ 在四边形 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图219$ 的边 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图220$ 上, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图221$ 和 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图222$ 都是等腰直角三角形, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图223$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图224$ .
(1) 证明: $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图225$ ;
(2) 设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图226$ 与 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图227$ 交于点 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图228$ , 如果 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图229$ , 求 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图230$ .
> (1) 由题意知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图232$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图233$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图234$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图235$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图236$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图237$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图238$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图239$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图240$ .

(2) 设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图241$ , 因为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图242$ , 可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图243$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图244$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图245$ . 因为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图246$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图247$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图248$ , 故可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图249$ . 又 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图250$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图251$ , 于是可得 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图252$ x%5E2#card=math&code=S%7B%5Ctriangle%20DPC%7D%20%3D%20%282-%5Csqrt3%29x%5E2), ![](https://g.yuque.com/gr/latex?S%7B%5Ctriangle%20EPC%7D%20%3D%20(%5Csqrt3%20-%201)%20x%5E2#card=math&code=S%7B%5Ctriangle%20EPC%7D%20%3D%20%28%5Csqrt3%20-%201%29%20x%5E2). 所以 ![](https://g.yuque.com/gr/latex?%5Cdfrac%7BDP%7D%7BPE%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BS%7B%5Ctriangle%20DPC%7D%7D%7BS%7B%5Ctriangle%20EPC%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B2-%5Csqrt3%7D%7B%5Csqrt3-1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt3-1%7D2#card=math&code=%5Cdfrac%7BDP%7D%7BPE%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BS%7B%5Ctriangle%20DPC%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20EPC%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B2-%5Csqrt3%7D%7B%5Csqrt3-1%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt3-1%7D2).

设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图253$ 是一个四位数, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图254$ 的各位数字之和为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图255$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图256$ 的各位数字之和为 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图257$ , 并且 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图258$ 与 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图259$ 的最大公约数是一个大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图260$ 的素数, 求 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图261$ .> 设 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图262$ , 由题设知 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图263$ 与 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图264$ 的最大公约数 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图265$ #card=math&code=%28m%2Cn%29) 为大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图266$ 的素数.

若 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图267$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图268$ , 所以 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图269$ %3D1#card=math&code=%28m%2Cn%29%3D1), 矛盾, 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图270$ . 若 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图271$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图272$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图273$ %20%3D%20(m%2C8)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C8%29), 它不可能是大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图274$ 的素数, 矛盾, 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图275$ . 若 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图276$ , 则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图277$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图278$ %20%3D%20(m%2C17)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C17%29), 它是大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图279$ 的素数, 那么只能是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图280$ , 于是必须有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图281$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图282$ . 满足条件的四位数有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图283$ 和 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图284$ . 若 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图285$ , 必有 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图286$ , 否则 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图287$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图288$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图289$ , 因而 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图290$ %20%3D%201#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%201), 矛盾. 于是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图291$ , 故 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图292$ %20%3D%20(m%2C%2026)#card=math&code=%28m%2Cn%29%20%3D%20%28m%2C%2026%29), 它是大于 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图293$ 的素数, 那么只能是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图294$ , 于是 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图295$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图296$ , $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图297$ 不可能是四位数的各位数字之和. 综上所述, $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图298$ 或 $2018 年全国初中数学联赛 (B 卷) - 图299$ .

2018 年全国初中数学联赛 (B 卷)

第一试

一、选择题

二、填空题

第二试