位加法

//思路： a+b=a^b + (a&b)<<1;
//其中a^b是不考虑进位的加，只有位相同才有进位所以(a&b)<<1则是进位的值
//每进行一次操作，进位末尾补0.
//也就是说，最多进行b的二进制位数次操作即可完成计算
//0111 ^ 0101 = 0010; 结果的每一位等于对应位相加模二，刚好是不带进位的加法结果。
//0111 & 0101 = 0101;
//结果的1表示对应位相加为2，0表示对应位相加小于二，刚好是进位标识。

  1. int add(int a, int b) {
  2.     if (b == 0)
  3.         return a;
  4.     return add(a ^b, (a&b) << 1);
  5.    //return (b == 0) ? a : add(a ^ b, (a & b) << 1);
  6. }
  7. printf("%s\n", (char*)&a);

位减法

//减法和加法相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数.
//所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
//求相反数的方法：每一位取反，末位加一
//求n的相反数
//~：按位取反
//add：加法操作，末位加一

  1. int negtive(int n)
  2. {
  3.     return add(~n, 1);
  4. }
  5. int subtraction(int a, int b)
  6. {
  7.     //加上被减数的相反数
  8.     return add(a, negtive(b));
  9. }

位乘法

对于a * b，每次只需要将a左移一位乘上b的对应位，然后同上一次的结果做加法即可。
也就意味着当b的对应位为1时，对a左移一位然后同上一次的结果做加法。
如果b的对应位为0，只对a左移一位。
当然，上述这些运算不包括符号位，所以两个操作数都需要先转换成正数，符号需要单独考虑。对于4个字节（32位整数）来说，获取符号位只需要取出第31位的值即可。

  1. //取出符号位
  2. int getSign(int n)
  3. {
  4.     return n >> 31;
  5. }
  7. //求n的绝对值
  8. int positive(int n)
  9. {
  10.     return (getSign(n) & 1) ? negtive(n) : n;
  11. }
  13. int multiply(int a, int b)
  14. {
  15.     //如果两个数符号位不相容，则结果为负
  16.     bool isNegtive = false;
  17.     if(getSign(a) ^ getSign(b))
  18.         isNegtive = true;
  20.     a = positive(a);
  21.     b = positive(b);
  23.     int res = 0;
  24.     while(b | 0)
  25.     {
  26.         //当b的对应位是1时，才需要加a
  27.         if(b & 1)
  28.             res = add(res, a);
  29.         a = a << 1; //a左移
  30.         b = b >> 1; //b右移
  31.     }
  33.     return isNegtive == true ? negtive(res) : res;
  34. }

位除法

同乘法一样，除法也可以进行二进制笔算，以a / b为例，只有当a >= b时才可以上商，又因为是二进制，所以商每次只会多1，在每次上1之后a都要减去一次b。

  1. int divide(int a, int b)
  2. {
  3.     //被除数不能为0
  4.     if(b == 0)
  5.         throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");
  7.     bool isNegtive = false;
  8.     if(getSign(a) ^ getSign(b))
  9.         isNegtive = true;
  11.     a = positive(a);
  12.     b = positive(b);
  14.     int res = 0;
  15.     while(a >= b)
  16.     {
  17.         res = add(res, 1);
  18.         a = subtraction(a, b);
  19.     }
  21.     return beNegtive == true ? negtive(res) : res;
  22. }