• 概率论均来自于赌博

  1、随机变量、结果、事件

• Random variable（随机变量）：uncertain quantity/number.

• Outcome（结果）：an observed value of a random variable.
• Event（事件，即：随机变量 + 结果）
  • Mutually exclusive events（互斥事件）：can not both happen at the same time.
  • Exhaustive events（遍历事件，全部事件）：include all possible outcomes.

• Two Defining Properties of Probability（后续讲的概率，均指随机变量的概率）

  • 
  • 
    • ：事件
    • 公式前提条件：个事件是互斥事件，且个事件是遍历事件（包含所有事件）

      2、客观概率、主观概率、几率（赔率）

• Objective Probability（客观概率）

  • Empirical probability（经验概率）：分析过去已存在的数据，得到将来某事件发生的概率
    • 如：Historically, the Dow Jones Industrial Average has closed higher than the previous close two out of every three trading days. Therefore, the probability of the Dow going up tomorrow is two-thirds（66.7%）.
  • Priori probability（先验概率）：分析过去已存在的数据，得到过去已发送过的事件的概率
    • 如：Yesterday, 24 of the 30 DJIA stocks increased in value. Thus, if 1 of 30 stocks is selected at random, there is an 80%（24/30）probability that its value increased yesterday.
• Subjective Probability（主观概率）
  • Based on intuition or subjective estimates
  • 如：There is an 90% probability that DJIA value increased.

• Odds（几率）

  • 该名词来源于赌博（很多概率论中的名词都来源于赌博）
  • Odds（赔率）for an event
    • 事件发生的概率与没发生的概率的比值
    • 
  • Odds against for an event
    • Odds 的倒数
    • 

      3、条件概率、非条件概率、联合概率、互斥事件和独立事件

• Conditional probability（条件概率）

  • ：在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率
• Unconditional Probability（非条件概率，marginal probability，边界概率）
  • ：不管其它事件发不发生，事件 A 发生的概率
• Joint probability（联合概率）：两个事件同时发生（乘法法则，Multiplication rule）
  • ：A 和 B 同时发生的概率
  • 
    • 先计算其中一个事件发生的概率，再结合该事件发生的情况下，另一个事件发生的概率，相乘即可。
  • If A and B are mutually exclusive events（互斥事件）, then：
    • 
  • 如果 A 和 B 是独立事件，则：
    • 
      • 因为此时（A 事件的发生与否与 B 事件的发生与否没有关系，B 事件同理）
      • The occurrence of A doesn’t affect the occurrence of B.
        • ，
• Probability that at least one of two events will occur（加法法则，Addition rule）
  • 
  • If A and B are mutually exclusive events, then：
    • 
    • 因为
• 如果 A 和 B 是互斥事件，则 A 和 B 一定不是独立事件
  • 因为独立事件要求其中一个事件发生与否不受另一事件影响，但如果 A 和 B 互斥，则其中一个事件的发生，会导致另一个事件一定不发送，产生了对另一个事件发生与否的影响

• Total probability formula（全概率公式）

  • For uncoditional probability of event A：
    • 
      • The set of events is mutually exclusive and exhaustive.

        4、Expected value（期望）、variance（方差）

• Expected value（期望）：

  • 加权平均即期望

• variance（方差）：

  5、covariance、correlation【重点】

• covariance（协方差）

  • a measure of the co-movement between random variable.
  • 衡量两个随机变量变化的方向性
    • 同向变化，协方差大于 0
    • 反向变化，协方差小于 0
  • 公式：
    • 
  • The covariance of a random variable with itself is its own variance
    • 
    • 此时的协方差肯定是大于等于 0 的（X 与 X 肯定是同向变化）。
  • Covariance ranges from negative infinity to positive infinity.
    • 

• Correlation（相关系数）

  • measures the co-movement（linear association）between two random variables.
    • 衡量的是两个随机变量间的线性关系
    • 
    • 
  • Correlation is a number between -1 and +1
    • 绝对值越接近 1，表明相关性越强
  • If , there is no linear relationship between two varibles.

    6、组合的期望、方差、标准差【重点】

• Portfolio 的收益率和风险（投资不能只投一个资产，因此通常需要计算 portfolio 的）

• Expected return
  • 

• variance（方差）、standard deviation（标准差）【必须掌握】

  • 

  • 两个资产的组合方差计算

    • 

      

  • 结论：

    • 时：
      • 
      • 
    • 时：
      • 
      • 
      • 此时肯定能找到一个点，使得组合的标准差为 0，即 no risk。
    • 当时，最大；当时，最小。
      • 随着的减小，组合的（代表风险）也相应减小。
  • n 个资产的组合方差
    • 的影响因素为 n 个资产
    • n 变大时，会减小（分散投资、风险减小）
      • 
      • 影响更大，因为多个资产的时候，的数量增加的更多

        7、Bayes’ Formula（贝叶斯公式）和其它相关数学计算

• 

  • 联合概率（Joint probability）公式

• 

  • Where can be solved using total probability formula（全概率公式）：
    • 
    • The set of events is mutually exclusive and exhaustive.

      8、计数法则

• Multiplication rule（乘法法则，如特殊情况下的联合概率计算）

  • 
• Factorial（阶乘，如 n 个人分到 n 个房间里，共有几种分配方法）
  • 
• Labeling（Multinomial）：贴标签问题
  • 
  • 如：现在有 10 只股票，分别贴如下标签（只需贴标签，顺序不重要）：
    • buy：5
    • hold：3
    • sell：2
  • 则共有种贴法（顺序不重要，因此，假设考虑顺序，有多少种贴法，然后将贴法中考虑顺序的情况下剔除）
• Combination（组合，不考虑顺序）
  • 
• Permutation（排列）
  • 

• 金融计算器计算排列组合：

  • 先输入一个数 n
  • 按 2ND + “+”（即 nCr，求组合），或 2ND +“-”（即 nPr，求排列）
  • 再输入一个数 r
  • 最后按“=”即可求得结果

    9、例题

    （1）经验概率、先验概率、主观概率

    

• 只要添加过一点点主观色彩的概率，都叫主观概率。

  （2）Odds（赔率）

  

• 发生的概率 1/5，不发生的概率 4/5，因此 Odds 为 1/4

  （3）联合概率

  （a）联合概率

  

  （b）联合概率 + Odds（赔率）

  

  （4）Expected value、variance

  （a）期望、方差

  

  （b）期望

  
  

  （5）covariance、correlation

  （a）联合概率分布表、协方差计算

  

• 联合概率分布表：表中的每一个概率均表示两个事件同时发生的概率。

  • ：Return on security A=25%
  • ：Return on security A=20%
  • ：Return on security B=30%
  • ：Return on security B=20%
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 

  • 

    

    （b）协方差的理解

    

• 同向变化，协方差大于 0

  （c）协方差、相关系数

  

  （6）Expected return、variance、standard deviation of a portfolio

  （a）组合的标准差计算（有技巧）

  

• 

  ![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/b698369fc2367a7a91476316e08ed88d.svg#card=math&code=%3Dw_A%5E2%5Csigma_A%5E2%2Bw_B%5E2%5Csigma_B%5E2%2B2w_Aw_B%2A%5Csigma_A%5Csigma_B%2A%5Crho&id=gFZt1) 

• 本题中：

  • 
  • 
  • 如果按照公式计算，最终结果为，但题目要求是求标准差（standard deviation），要开根号。

• 解题技巧2：

  • 由于选项中只涉及一个数值，最终只是比较与该数值的大小，因此可以先求解个特殊情况的结果：
    • 时：
      • 
      • （正好是目标比较的数值，但该数值假设的是，而实际上，因此实际数值会偏小）

        （b）组合的标准差计算

        

• 本题中：

  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 先求解
    • 
  • 再求解（最终结果开根号即可）

（7）Bayes’ Formula