什么是矩母函数？🐱‍🐉🐱‍🐉

1.首先，概率统计中的“矩”是什么？

比方说，我们感兴趣的是随机变量X。 矩是X的期望值，例如E（X），E（X²），E（X³）等。 第一矩是E（X）， 第二矩是E（X²）， 第三矩是E（X³）， … 第n个矩是E（X ^ n）。
当然，我们非常熟悉前两个矩，均值μ= E（X）和方差E（X²）−μ²。它们是X的重要特征。 平均值是 平均值，方差是分布的分布程度。但是，必须有其他的特征来定义分布。例如，第三矩是分布的不对称性。第四关是尾巴有多沉、多厚。

这些矩告诉您有关分布的信息。

2.什么是矩产生函数（MGF）？

顾名思义，MGF实际上是生成矩的函数 E（X），E（X²），E（X³），…，E（X ^ n）。也就是”矩“的母亲，够通俗吧。

矩母函数的定义： 如果看一下MGF的定义，您可能会说……
“我对了解E（e ^ tx）并不感兴趣。我要E（X ^ n）”
取n次MGF的导数并令t = 0。然后，您将得到E（X ^ n）。

这就是您从MGF那里获取矩（moments）的方式。

3.给我看证明。为什么第n个矩是MGF的第n个导数？

我们将使用泰勒级数证明这一点。

然后取期望值。

现在，对t取一个导数。

如果对③取另一种导数（因此取两次），则将得到E（X²）。 如果您采用另一个（三阶）导数，则将得到E（X³），依此类推…… 当我第一次看到矩生成函数时，我无法理解t在函数中的作用，因为t似乎是我不感兴趣的任意变量。但是，如您所见，t是辅助变量。我们引入t是为了能够使用演算（导数）并使（我们不感兴趣的）项为零。 等等…
但是我们可以直接了当，使用期望值的定义来计算弯。为什么我们还需要MGF？

预期值的定义 4.为什么我们需要MGF？ 为了方便，哈哈 当然是我们希望MGF可以轻松计算矩。 但是，为什么MGF比定义期望值更容易？ 在我的数学教科书中，他们总是问我“请找出计算二项式（n，p），泊松（λ），指数（λ），正态（0，1）等的函数的矩。” 但是，他们从未真正向我展示过为什么MGF会如此有用以至于它们激发喜悦。
我认为以下示例会给您带来喜悦，最简单的示例显示MGF更容易：指数分布的MGF。 我们将从PDF开始。

指数分布的PDF

导出指数的MGF。

对于存在的MGF，应该存在期望值E（e ^ tx）。 这就是为什么“ t-λ<0”是要满足的重要条件的原因，因为，不满足积分将不会收敛。（这称为散度检验，这是在尝试确定积分是收敛还是发散时首先要检查的内容。） 一旦有了MGF：λ/（λ-t），计算矩就变成了求导数的问题，这比积分更容易直接计算期望值。
使用MGF，可以通过求导数而不是积分来查找矩！
注意事项：

1. 对于任何有效的MGF，M（0）= 1，每当您计算MGF时，插入t = 0并查看是否得到1。
2. 矩提供了一种指定分布的方法。例如，您可以在前两个矩（均值和方差）完全指定正态分布。当您知道分布的多个不同矩时，您将了解有关该分布的更多信息。如果有一个您没有认识的人，并且您知道他们的身高，体重，肤色，喜爱的爱好等，您仍然不一定完全了解他们，但是正在获得关于他们的越来越多的信息。
3. MGF的优点在于，一旦有了MGF（一旦存在期望值），您就可以得到第n个矩。MGF将随机变量的所有矩编码为一个函数，以后可以再次从中提取它们。
4. 概率分布由其MGF唯一确定。如果两个随机变量具有相同的MGF，则它们必须具有相同的分布。
5. 对于那些对术语“矩”感到好奇的人（像我一样）：为什么一个矩称为矩？
6. 分布的重要特征之一是它的尾巴有多沉重，尤其是对于金融风险管理而言。如果您还记得2009年的金融危机，那实际上就是无法解决罕见事件发生的可能性。风险管理人员低估了基金交易头寸中的许多金融证券的峰度（峰度在希腊语中是指“凸起”）。有时，假设的风险曲线平滑的随机分布可能会在其中隐藏凸起。而且我们可以检测到使用MGF的人员！