上两节我们讲了二分查找算法。当时我讲到，因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找算法了吗？
实际上，我们只需要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做跳表（Skip list）。
它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速地插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代红黑树（Red-black tree）。
Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。如果你有一定基础，应该知道红黑树也可以实现快速地插入、删除和查找操作。那 Redis 为什么会选择用跳表来实现有序集合呢？ 为什么不用红黑树呢？学完今天的内容，你就知道答案了。

等比数列求和
基础38讲-12- 跳表：为什么Redis一定要用跳表来实现有序集合？ - 图1

如何理解“跳表”？

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。
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那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。你可以看我画的图。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。
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如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。
现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。
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五级索引
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从图中我们可以看出，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。
这种链表加多级索引的结构，就是跳表。

用跳表查询到底有多快？

按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k)。
假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(mlogn)。
那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？我来解释一下。
假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
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*通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。使用空间换取时间。

跳表是不是很浪费内存？

跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
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这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？我画了一个每三个结点抽一个的示意图，你可以看下。
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从图中可以看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是 1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。
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通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。sn = (anq - a1)/(q-1) = (n - 1) / 2 =n/2 - 1/2
实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

高效的动态插入和删除

实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。
我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。我画了一张图，你可以很清晰地看到插入的过程。
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好了，我们再来看删除操作。
如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。
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作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。
如果你了解红黑树、AVL 树这样平衡二叉树，你就知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡（如果不了解也没关系，我们后面会讲），而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？
我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。
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随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。至于随机函数的选择，我就不展开讲解了。

解答开篇

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？
Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。不过散列表我们后面才会讲到，所以我们现在暂且忽略这部分。如果你去查看 Redis 的开发手册，就会发现，Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

  • 插入一个数据；
  • 删除一个数据；
  • 查找一个数据；
  • 按照区间查找数据（比如查找值在[100, 356]之间的数据）；
  • 迭代输出有序序列。

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。
当然，Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
不过，跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，必须要自己实现。

老师githu地址：https://github.com/wangzheng0822/algo
参考地址：https://juejin.cn/post/7009520476447997966

  1. /**
  2.  * 跳表的一种实现方法。
  3.  * 跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。
  4.  */
  5. public class SkipList {
  7.     private static final float SKIPLIST_P = 0.5f;
  8.     private static final int MAX_LEVEL = 16;
  10.     private int levelCount = 1;
  12.     private Node head = new Node();  // 带头链表
  15.     /** 查找*/
  16.     public Node find(int value) {
  17.         Node p = head;
  18.         //从最高层开始找,外层循环，遍历向下的指针
  19.         for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
  20.             //内层循环，遍历向右的指针,找到每一层最后一个小于value的位置
  21.             while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
  22.                 p = p.forwards[i];
  23.             }
  24.         }
  25.         //判断原始链表对于的值是否等于 value，如果找到了，返回这个Node
  26.         if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
  27.             return p.forwards[0];
  28.         } else {
  29.             return null;
  30.         }
  31.     }
  32.     /** 插入的时候就维护了索引，每次经过对应的层级的时候就插入对应的索引，直到到达原链表*/
  33.     public void insert(int value) {
  34.         //获取索引级别
  35.         int level = randomLevel();
  36.         Node newNode = new Node();
  37.         newNode.data = value;
  38.         newNode.maxLevel = level;
  39.         Node update[] = new Node[level];
  40.         for (int i = 0; i < level; ++i) {
  41.             update[i] = head;
  42.         }
  44.         // 记录每一层级中update[i]该在的位置，a < value <= b
  45.         Node p = head;
  46.         //外层循环，遍历向下的指针
  47.         for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
  48.             //内层循环，遍历向右的指针，找到每一层最后一个小于value的位置
  49.             while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
  50.                 p = p.forwards[i];
  51.             }
  52.             update[i] = p;// update[i]就是i层级下newNode应该插入的位置，即a的位置
  53.         }
  55.         // 开始在每层对应的位置插入newNode ，原本指针指向 a -> b
  56.         for (int i = 0; i < level; ++i) {
  57.             //修改该层链表指向为 newNode.next -> a.next
  58.             newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
  59.             //修改该层链表指向为 a.next -> newNode
  60.             update[i].forwards[i] = newNode;
  61.         }
  62.         //修改完以后，每层的链表指向变为了 a -> newNode -> b
  64.         // 更新最大层高
  65.         if (levelCount < level) levelCount = level;
  66.     }
  68.     /** 删除*/
  69.     public void delete(int value) {
  70.         Node[] update = new Node[levelCount];
  71.         Node p = head;
  72.         //和添加一样，找到每层要删除的索引的对应的位置
  73.         for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
  74.             //内层循环退出的条件是p的下一个节点的值大于等于value，即找到每一层最后一个小于value的位置
  75.             while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
  76.                 p = p.forwards[i];
  77.             }
  78.             //把p赋值给update[i]
  79.             update[i] = p;
  80.         }
  81.         //if条件确保最下层原始链表存在要删除的该值
  82.         if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
  83.             //从最上层开始删,一直删到原始链表
  84.             for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
  85.                 //如果update[i]的下一个节点等于value，即 b == value ，则删除该节点
  86.                 if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
  87.                     //直接让a.next指向要删除节点的下一个节点，此时要删除的节点就不在链表中了
  88.                     update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
  89.                 }
  90.             }
  91.         }
  92.         //修改该跳表的层高，因为删除了一些索引节点，有可能层高变小
  93.         while (levelCount > 1 && head.forwards[levelCount] == null){
  94.             levelCount--;
  95.         }
  97.     }
  99.     // 理论来讲，一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%，二级索引中元素个数占 25%，三级索引12.5% ，一直到最顶层。
  100.     // 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点，都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。
  101.     // 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
  102.     //        50%的概率返回 1
  103.     //        25%的概率返回 2
  104.     //      12.5%的概率返回 3 ...
  105.     private int randomLevel() {
  106.         int level = 1;
  107.         //Math.random()会生成一个0到1之间的Double类型的数,SKIPLIST_P越大，那么晋升的概率越大，Redis里概率为0.25。
  108.         while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
  109.             level += 1;
  110.         return level;
  111.     }
  113.     public void printAll() {
  114.         Node p = head;
  115.         while (p.forwards[0] != null) {
  116.             System.out.print(p.forwards[0] + " ");
  117.             p = p.forwards[0];
  118.         }
  119.         System.out.println();
  120.     }
  122.     public class Node {
  123.         private int data = -1;
  124.         //一个Node Level数组，数组里的值是i层级指向前一个Node的指针，即每个Node节点向前的指针
  125.         //通过修改数组索引i的值，逻辑上替代了层级之间向下或者向上的指针
  126.         private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL];
  127.         private int maxLevel = 0;
  129.         @Override
  130.         public String toString() {
  131.             StringBuilder builder = new StringBuilder();
  132.             builder.append("{ data: ");
  133.             builder.append(data);
  134.             builder.append("; levels: ");
  135.             builder.append(maxLevel);
  136.             builder.append(" }");
  138.             return builder.toString();
  139.         }
  140.     }
  141. }