当我们想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

  1. [202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
  2. [202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
  3. [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
  4. [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁 
  5. [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州 
  6. [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

现在我的问题是，在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？
唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”
二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其他的你可以借助我今天讲的思路自己来分析。
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变体一：查找第一个值等于给定值的元素

上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？
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简介版本：

  1. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid = low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] >= value) {
  7.       high = mid - 1;
  8.     } else {
  9.       low = mid + 1;
  10.     }
  11.   }
  13.   if (low < n && a[low]==value) return low;
  14.   else return -1;
  15. }

清晰版本：

  1. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] > value) {
  7.       high = mid - 1;
  8.     } else if (a[mid] < value) {
  9.       low = mid + 1;
  10.     } else {
  11.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
  12.       else high = mid - 1;
  13.     }
  14.   }
  15.   return -1;
  16. }

我来稍微解释一下这段代码。a[mid]跟要查找的 value 的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于 a[mid]>value 的情况，我们需要更新 high= mid-1；对于 a[mid]如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，a[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。
我们重点看第 11 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid]的前一个元素 a[mid-1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
如果经过检查之后发现 a[mid]前面的一个元素 a[mid-1]也等于 value，那说明此时的 a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。
对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解？实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没 Bug，其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

  1. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] > value) {
  7.       high = mid - 1;
  8.     } else if (a[mid] < value) {
  9.       low = mid + 1;
  10.     } else {
  11.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
  12.       else low = mid + 1;
  13.     }
  14.   }
  15.   return -1;
  16. }

我们还是重点看第 11 行代码。如果 a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果 a[mid]的后一个元素 a[mid+1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
如果我们经过检查之后，发现 a[mid]后面的一个元素 a[mid+1]也等于 value，那说明当前的这个 a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。

  1. public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] >= value) {
  7.       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
  8.       else high = mid - 1;
  9.     } else {
  10.       low = mid + 1;
  11.     }
  12.   }
  13.   return -1;
  14. }

如果 a[mid]小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新 low=mid+1。
对于 a[mid]大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。
如果 a[mid-1]也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。是不是有点类似上面那一种？实际上，实现思路也是一样的。
有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。

  1. public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
  2.   int low = 0;
  3.   int high = n - 1;
  4.   while (low <= high) {
  5.     int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  6.     if (a[mid] > value) {
  7.       high = mid - 1;
  8.     } else {
  9.       if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
  10.       else low = mid + 1;
  11.     }
  12.   }
  13.   return -1;
  14. }

解答开篇

好了，现在我们回头来看开篇的问题：如何快速定位出一个 IP 地址的归属地？
现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。
然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。
当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

内容小结

上一节我说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用处了吗？
实际上，上一节讲的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更加明显。比如今天讲的这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表、二叉树，就比较难实现了。
变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生 Bug，这些容易出错的细节有：终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以今天的内容你最好能用自己实现一遍，对锻炼编码能力、逻辑思维、写出 Bug free 代码，会很有帮助。

课后思考

我们今天讲的都是非常规的二分查找问题，今天的思考题也是一个非常规的二分查找问题。如果有序数组是一个循环有序数组，比如 4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法呢？
评论置顶方法：

  1. 有三种方法查找循环有序数组
  3.  一、
  4.  1. 找到分界下标，分成两个有序数组
  5.  2. 判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找
  7.  二、
  8.  1. 找到最大值的下标 x;
  9.  2. 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;
  10.  3. 利用偏移后的下标做二分查找；
  11.  4. 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。
  13.  两种情况最高时耗都在查找分界点上，所以时间复杂度是 O(N）。
  15.  复杂度有点高，能否优化呢？
  17.  三、
  18. 我们发现循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
  20.  如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
  21.  如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
  22.  如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
  23.  如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。
  25.  时间复杂度为 O(logN)。