一、特殊矩阵

通用的特殊矩阵

  1. zeros函数：产生0矩阵
  • zeros（m）：产生m*m零矩阵
  • zeros（m，n）：产生m*n零矩阵
  • zeros（size（A））：产生与A同大小的零矩阵
    1. >>A=zeros(2,3)
    2. A =
    3.  0  0  0
    4.  0  0  0
    5. >>zeros(size(reshape(A,3,2))
    6. ans =
    7.   0  0
    8.   0  0
    9.   0  0
  1. ones函数：产生1矩阵
  2. eye函数：产生对角线为1的矩阵、
  3. rand函数：产生（0,1）区间均匀分布的随机矩阵
  4. randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵
  5. fix(a+(b-a+1)*x)：产生[a,b]区间上均匀分布的随机整数
  6. μ+σx：产生均值为μ、方差为σ^2的标准正态分布随机数x
    //产生5阶两位随机整数矩阵A，再生产均值为0.6，方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证（A+B）I=IA+BI(I为单位矩阵）
>>A=fix(10+(99-10+1)*rand(5));
>>B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5);//sqrt 平方根
>>C=eye(5);
>>(A+B)*C==C*A+B*C
ans=
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1

    用于专门学科的特殊矩阵

    魔法阵

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    >>M=magic(8);
>>sum(M(1,:))
ans =
260
>>sum(M(:,1)
ans =
260

    范德蒙矩阵

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    希尔伯特矩阵（病态严重）

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    伴随矩阵

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    帕斯卡矩阵

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    二、矩阵变换

    对角阵

  • 对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵
  • 数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵

  • 单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵

    提取矩阵的对角线元素

  • diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量

  • diag（A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量

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构造对角矩阵

  • diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵

  • diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵

    //先建立5*5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，···，第五行乘以5
>>A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9]
A=
7  0  1  0  5
3  5  7  4  1
4  0  3  0  2
1  1  9  2  3
1  8  5  2  9
>>D=diag(1:5)
>>D*A
ans =
  7  0  1  0  5
  6 10 14  8  2
 12  0  9  0  6
  4  4 36  8 12
  5 40 25 10 45

    三角阵

    上三角矩阵

    //triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素
//triu（A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素
>>triu(ones(4),-1)
ans =
  1  1  1  1
  1  1  1  1
  0  1  1  1
  0  0  1  1

    下三角矩阵

    函数是tril，用法与triu函数相同

    矩阵的转置

  • 转置运算符是小数点后面接单引号（.’)

  • 共轭转置，运算符是单引号（’）

    >>A=[1,3;3+4i,1-2i]
A =
1.0000+0.0000i 3.0000+0.0000i
3.0000+4.0000i 1.0000-2.0000i
>>A.'
ans=
1.0000+0.0000i 3.0000+4.0000i
3.0000+0.0000i 1.0000-2.0000i

    矩阵的旋转

    //rot90(A,k): 将矩阵A逆时针方向旋转90度的k倍，k为1时可以省略
>>A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A=
1 3 2
-3 2 1
4 1 2
>>rot90(A)
ans=
2  1  2
3  2  1
1 -3  4
>>rot90(A,2)
ans=
 2  1  4
 1  2 -3
 2  3  1

    矩阵的翻转

  • fliplr(A)：对矩阵A左右翻转

  • flipud(A)：上下翻转

    矩阵的求逆

  • inv(A)

    三、矩阵求值

    方阵的行列式

  • det(A)

    矩阵的秩

  • rank(A)

    矩阵的迹

  • trace(A)

    向量和矩阵的范数

    向量范数

    norm（V）或norm（V）：向量V的2—范数 （向量元素平方和的平方跟）
    norm（V，1）：1—范数 （向量元素的绝对值之和）
    norm（V，inf）：无穷范数 （所以元素绝对值中的最大值）

    矩阵范数

    与上调用方法相同

    矩阵的条件数

  • 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积

  • 条件数越接近一，性能越好
  • cond(A,1) 1-范数下的条件数
  • cond（A）或cond（A,2) 2-范数下的条件数

  • cond（A，inf） 无穷范数下的条件数

    四、特征值与特征向量

    求矩阵的特征值与特征向量

  • E=eig（A） ：求矩阵A的全部特征值，构成向量E

  • [X,D]=eig(A)： 求A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是对应的特征向量
  • eigshow函数：演示单位圆上的向量x和Ax之间的关系

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五、稀疏矩阵

0特别多的矩阵

存储方式

  • 完全存储 全部都存
  • 稀疏存储 只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号

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稀疏存储方式的产生

完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

//A=sparse(S):将矩阵S转换为稀疏存储方式的矩阵A
//S=full(A):将矩阵A转换为完全存储方式的矩阵S

直接建立稀疏存储矩阵

  1. sparse(m,n):生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵
  2. sparse(u,v,S)：其中u、v、S是三个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u（i）、v（i）分别为S（i）的行下标和列下标

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  1. 利用spconvert函数建立稀疏存储矩阵，调用格式：B=spconvert（A）

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带状系数矩阵的稀疏存储

  • 基本类型：无规则结构的稀疏矩阵 有规则结构的稀疏矩阵
  • 带状稀疏矩阵：所有非零元素集中在对角线上的矩阵

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