1.定义

在现实生活中，我们经常会同一时间接到很多任务去完成，但是这些任务的完成是有先后次序的。以我们学习java 学科为例，我们需要学习很多知识，但是这些知识在学习的过程中是需要按照先后次序来完成的。从java基础，到 jsp/servlet，到ssm，到springboot等是个循序渐进且有依赖的过程。在学习jsp前要首先掌握java基础和html基础，学习ssm框架前要掌握jsp/servlet之类才行。

为了简化问题，我们使用整数为顶点编号的标准模型来表示这个案例：

此时如果某个同学要学习这些课程，就需要指定出一个学习的方案，我们只需要对图中的顶点进行排序，让它转换为一个线性序列，就可以解决问题，这时就需要用到一种叫拓扑排序的算法。

拓扑排序：
给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的元素指向排在后面的元素，此时就可以明确的表示出每个顶点的优先级。下列是一副拓扑排序后的示意图：

2.检测有向图中的环

如果学习x课程前必须先学习y课程，学习y课程前必须先学习z课程，学习z课程前必须先学习x课程，那么一定是有问题了，我们就没有办法学习了，因为这三个条件没有办法同时满足。其实这三门课程x、y、z的条件组成了一个环：

实现：
在API中添加了onStack[] 布尔数组，索引为图的顶点，当我们深度搜索时：
1. 在如果当前顶点正在搜索，则把对应的onStack数组中的值改为true，标识进栈；
2. 如果当前顶点搜索完毕，则把对应的onStack数组中的值改为false，标识出栈；
3. 如果即将要搜索某个顶点，但该顶点已经在栈中，则图中有环；

代码实现：

package 图;
public class DirectedCycle {
    //索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
    private boolean[] marked;
    //记录图中是否有环
    private boolean hasCycle;
    //索引代表顶点，使用栈的思想，记录当前顶点有没有已经处于正在搜索的有向路径上
    private boolean[] onStack;
    //创建一个检测环对象，检测图G中是否有环
    public DirectedCycle(Digraph G) {
        //创建一个和图的顶点数一样大小的marked数组
        marked = new boolean[G.V()];
        //创建一个和图的顶点数一样大小的onStack数组
        onStack = new boolean[G.V()];
        //默认没有环
        this.hasCycle = false;
        //遍历搜索图中的每一个顶点
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            //如果当前顶点没有搜索过，则搜索
            if (!marked[v]) {
                dfs(G, v);
            }
        }
    }
    //基于深度优先搜索，检测图G中是否有环
    private void dfs(Digraph G, int v) {
        //把当前顶点标记为已搜索
        marked[v] = true;
        //让当前顶点进栈
        onStack[v] = true;
        //遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
        for (Integer w : G.adj(v)) {
            //如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
            if (!marked[w]) {
                dfs(G, w);
            }
            //如果顶点w已经被搜索过，则查看顶点w是否在栈中，如果在，则证明图中有环，修改hasCycle标记，结束循环
            if (onStack[w]) {
                hasCycle = true;
                return;
            }
        }
        //当前顶点已经搜索完毕，让当前顶点出栈
        onStack[v] = false;
    }
    //判断w顶点与s顶点是否相通
    public boolean hasCycle() {
        return hasCycle;
    }
}

3. 基于深度优先的顶点排序

实现：
在API的设计中，我们添加了一个栈reversePost用来存储顶点，当我们深度搜索图时，每搜索完毕一个顶点，把该顶点放入到reversePost中，这样就可以实现顶点排序。

代码实现：

package 图;
import 线性表.Stack;
public class DepthFirstOrder {
    //索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
    private boolean[] marked;
    //使用栈，存储顶点序列
    private Stack<Integer> reversePost;
    //创建一个检测环对象，检测图G中是否有环
    public DepthFirstOrder(Digraph G) {
        //创建一个和图的顶点数一样大小的marked数组
        marked = new boolean[G.V()];
        reversePost = new Stack<Integer>();
        //遍历搜索图中的每一个顶点
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            //如果当前顶点没有搜索过，则搜索
            if (!marked[v]) {
                dfs(G, v);
            }
        }
    }
    //基于深度优先搜索，检测图G中是否有环
    private void dfs(Digraph G, int v) {
        //把当前顶点标记为已搜索
        marked[v] = true;
        //遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
        for (Integer w : G.adj(v)) {
            //如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
            if (!marked[w]) {
                dfs(G, w);
            }
        }
        //当前顶点已经搜索完毕，让当前顶点入栈
        reversePost.push(v);
    }
    //获取顶点线性序列
    public Stack<Integer> reversePost() {
        return reversePost;
    }
}

4. 拓扑排序实现

前面已经实现了环的检测以及顶点排序，那么拓扑排序就很简单了，基于一幅图，先检测有没有环，如果没有环，则调用顶点排序即可。

代码实现：

package 图;
import 线性表.Stack;
public class TopoLogical {
    //顶点的拓扑排序
    private Stack<Integer> order;
    //构造拓扑排序对象
    public TopoLogical(Digraph G) {
        //创建检测环对象，检测图G中是否有环
        DirectedCycle dCycle = new DirectedCycle(G);
        if (!dCycle.hasCycle()) {
            //如果没有环，创建顶点排序对象，进行顶点排序
            DepthFirstOrder depthFirstOrder = new DepthFirstOrder(G);
            order = depthFirstOrder.reversePost();
        }
    }
    //判断图G是否有环
    private boolean isCycle() {
        return order == null;
    }
    //获取拓扑排序的所有顶点
    public Stack<Integer> order() {
        return order;
    }
}

数据结构与算法

③拓扑排序

1.定义

2.检测有向图中的环

3. 基于深度优先的顶点排序

4. 拓扑排序实现